工程数学线性代数课后习题答案

因为A?B???2222?5??? A?B???0?01???

(A?B)(A?B)???225???2??0?01??2????006??9???

而 A2?B2???348???10???28?11????34???17????

故(AB)(AB)A2B2

6 举反列说明下列命题是错误的

(1)若A2

0 则A0

解 取A???012

?00??? 则A0 但A0

(2)若A2

A 则A0或AE

解 取A???11?00??? 则A2

A 但A0且A (3)若AXAY 且A0 则XY

解 取

A???100??1?0? X?????1111??? Y???1?01??? 则AXAY 且A0 但XY

7 设A?????101??? 求A2

A3

解 A2???10?10???1????10?????1????2?1??

A3?A2A????21?01???10?????1?????10??3?1??

E Ak

10 Ak???k?1????

求Ak

??10? 8 设A??0?1??00???? 解 首先观察

??10???10???22?1? A2??0?1??0?1???0?22???00???00???00?2???????

??33?23?? A3?A2?A??0?33?2??00?3?????44?36?2? A4?A3?A??0?44?3??00?4?????55?410?3? A5?A4?A??0?55?4??00?5???

??kk?k?1k(k?1)?k?2?2k A??0?kk?k?1?00k?? 用数学归纳法证明 当k2时

假设k时成立，则k

1时，

显然成立

??? ????kk?k?1k(k?1)?k?2?????10?2 Ak?1?Ak?A??0?kk?k?1??0?1?

?00??00???k????????k?1(k?1)?k?1(k?1)k?k?1???2 ??0?k?1(k?1)?k?1???k?100?????由数学归纳法原理知

??kk?k?1k(k?1)?k?2???2 Ak??0?kk?k?1??00??k????是对称矩阵

T

9 设A B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BAB也

TT 证明 因为A (BAB)

TTA 所以

BT(BTA)TBTATBBTAB

从而BAB是对称矩阵 10

充分必要条件是AB 证明 充分性 (AB) 必要性 ABT 设A B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的

BA

因为ATTA BTB 且ABBA 所以

(BA)

ATBTAB

A BTB 且(AB)TAB 所以

即AB是对称矩阵

(AB)

T 因为ATBTATBA

11 求下列矩阵的逆矩阵

1 (1)??2?2?5??

1 解 A???2?2?5?? |A|1 故A存在

1

因为

A11A21??5?2? A*???AA????21???1222??5?2故 A?1?1A*????21??|A|??cos??sin? (2)??sin?cos?????

cos??sin?? 解 A???sin?cos???? |A|10

故A存在

1

因为

A11A21??cos?sin?? A*???AA????sin?cos????1222??cos?sin?所以 A?1?1A*????sin?cos???|A|???12?1? (3)?34?2??5?41???

?12?1?1

解 A??34?2? |A|20 故A存在

?5?41????A11A21A31???420? A*??A12A22A32????136?1?

????3214?2?AAA??132333?? 因为