证明 由A2
A2EO得A2A2E 两端同时取行列式
得 |A2
A|2
即 |A||AE|2
故 |A|0 所以A可逆 而A2EA2
|A2E||A2||A|
2
0A2E也可逆
由 A2
A2EO A(AE)2E A1A(AE)2A1EA?1?12(A?E) 又由 A2A2EO(A2E)A3(A2E)
4E
(A2E)(A3E)4 E 所以 (A2E)1
(A2E)(A3E)4(A2 E)1
(A?2E)?1?14(3E?A) 16
设A为3阶矩阵
|A|?12 求|(2A)
1
5A*| 解 因为A?1?1|A|A* 所以
|(2A)?1?5A*|?|1A?1?5|A|A?1|?|1A?1?5A?1222|
|2A1
|(2)3|A1
|
8|A|
1
8216
17 设矩阵A可逆 证明其伴随阵A*也可逆
(A*)
1
(A1)*
故
且
证明 由A?1?1A* 得A*|A|A1
所以当A可逆时
|A| 有 |A*||A|n|A1
||A|
n1
0
从而A*也可逆 因为A*|A|A1
所以
(A*)
1
|A|1
A
又A?1|A?1|(A?1)*?|A|(A?1)* 所以
(A*)1
|A|1
A|A|1
|A|(A1
)*(A1
)* 18 设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*
证明
(1)若|A|0
则|A*|0
(2)|A*||A|
n1
证明
(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)
1
由此得
AA A*(A*)1
|A|E(A*)
1
O
所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时
|A*|
0
(2)由于A?1?1|A|A* 则AA*|A|E 取行列式得到 |A||A*||A|
n 若|A|0 则|A*||A|
n1
若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立
因此|A*|
|A|
n1
E有
?033? 19 设A??110???123??? 解 由AB ABA2B 求B
A2E可得(A2E)BA 故
?1?1??233??033??033? B?(A?2E)A??1?10??110????123???121???123??110???????
?101? 20 设A??020??101??? 解 由AB (A即 (A 且ABEA2B 求B
EA2B得
E)BA2E E)B(AE)(AE)
所以(A001 因为|A?E|?010??1?0100?201? B?A?E??030??102??? 21
设A 解 由A*BA B
E)可逆 从而
diag(1 22BA8E得
8E1
1
1) A*BA
1
2BA8E 求B
(A*2E)BA8(A*8(AA*
2E)A 2A)
1 1
8[A(A*2E)] 8(|A|E2A)
8(2E1
2A)
1
4(EA)4[diag(2
1 2)]
1
?4diag(1, ?1, 1)
22
2diag(1
2
1)
?1?0 22 已知矩阵A的伴随阵A*??1?0?且ABA1
010?300100?0?0?8??
BA1
1
3E 求B
3
解 由|A*||A| 由ABA AB8 得|A|2
BA1
3E得
1
B3A
3[A(EA)]A
1
1
B3(AE)A ?3(E?1A*)?1?6(2E?A*)?1
2?1?0 ?6??1?0?01031
00100??600???060??60?03?6????100600?0?0??1??
23 设PAP?1?4 其中P???11???? 得APP1
?1 ????0?11
0?2??11
求
A11
解 由PAP1
所以A A=P
P1.
1 |P|3 P*????1?4?1??14 P?1?1???1?1??3??
相关推荐：
loading