习题12?2
1 求下列微分方程的通解 (1)xy??yln y?0 解 分离变量得
1dy?1dx
ylnyx两边积分得
?1dy??1dx
ylnyx即 ln(ln y)=ln x+ln C, 故通解为y=eCx .
(2)3x2?5x?5y??0 解 分离变量得
5dy?(3x2?5x)dx 两边积分得
?5dy??(3x2?5x)dx
即 5y?x3?5x2?C1
2故通解为y?1x3?1x2?C 其中C?1C1为任意常数
525
(3)1?x2y??1?y2 解 分离变量得
dy?dx1?y21?x2
两边积分得
?dy??dx 1?y21?x2即 arcsin y?arcsin x?C
故通解为y?sin(arcsin x?C) (4)y??xy??a(y2?y?)
解 方程变形为(1?x?a)y??ay2分离变量得
12dy?adx
1?a?xy两边积分得
?12dy??adx
1?a?xy即 ?1??aln1(?a?x)?C1
y1故通解为y? 其中C?aC1为任意常数C?aln(1?a?x) (5)sec2x tan ydx?sec2y tan xdy?0 解 分离变量得
2sec2ysecxdxy??
tanytanx
两边积分得
2sec2ysecxdxy??? ?tanytanx
即 ln(tan y)??ln(tan x)?ln C
故通解为tan x tan y?C
dy (6)?10x?y
dx 解 分离变量得
10?ydy?10xdx 两边积分得
?10?ydy??10xdx
?yx1010即 ? ??Cln10ln10ln10或 10?y?10x?C 故通解为y??lg(C?10x)
(7)(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0
解 方程变形为ey(ex?1)dy?ex(1?ey)dx分离变量得
yxee dy?dx 1?ey1?ex两边积分得
yxee ?dy??dx 1?ey1?ex即 ?ln(e y)?ln(ex?1)?lnC 故通解为(ex?1)(ey?1)?C
(8)cos x sin ydx?sin x cos ydy?0 解 分离变量得
cosy dy??cosxdx
sinysinx两边积分得
cosy ?dy???cosxdx
sinysinx即 ln(sin y)??ln(sin x)?ln C 故通解为sin x sin y?C
dy (9)(y?1)2?x3?0
dx 解 分离变量得
(y?1)2dy??x3dx 两边积分得
?(y?1)2dy???x3dx
即 1(y?1)3??1x4?C1
34故通解为4(y?1)3?3x4?C (C?12C1) (10)ydx?(x2?4x)dy?0 解 分离变量得
4dy?(1?1)dx
yx4?x两边积分得
?4dy??(1?1)dx
yx4?x即 ln y4?ln x?ln(4?x)?ln C 故通解为y4(4?x)?Cx
2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)y??e2x?y y|x?0?0 解 分离变量得 e ydy?e2xdx 两边积分得
?eydy??e2xdx
即 ey?1e2x?C
2或 y?ln1(e2x?C)
2 由y|x?0?0得ln(1?C)?02所以特解y?ln(1e2x?1)
22 C?12
(2)cos x sin ydy?cos y sin xdx 解 分离变量得 tan y dy?tan x dx两边积分得
y|x?0??4
?tanydy??tanxdx 即 ?ln(cos y)??ln(cos x)?ln C或 cos y?C cos x 由y|x?0??得cos??Ccos0?C44所以特解为2cosy?cosx (3)y?sin x?yln y
2 C?12
yx???e 解 分离变量得
1dy?1dx
ylnysinx两边积分得
?1dy??1dx
ylnysinx即 ln(lny)?ln(tanx)?lnC2或 由
Ctaxny?e2
C?1
Ctan?4yx???e得e?e2所以特解为
tanxy?e2
y|x?0??4
(4)cos ydx?(1?e?x)sin ydy?0 解 分离变量得
xsinyedy?dx ?cosy1?ex
两边积分得
xsinyedy??dx ??cosy1?ex
即 ln|cos y|?ln(ex?1)?ln |C|
或 cos y?C(ex?1)
??? 由y|x?0?得cos?C(e4?1)44 C?24
所以特解为cosy?2(ex?1)
4 (5)xdy?2ydx?0 y|x?2?1 解 分离变量得 1dy??2dx
yx两边积分得
?1dy???2dx
yx即 ln y??2ln x?ln C 或 y?Cx?2
由y|x?2?1得C?2?2?1 C?4 所以特解为y?4 2x
3? 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗? 高为10cm? 顶角为60?? 漏斗下面有面积为0? 5cm2的孔? 求水面高度变化的规律及流完所需的时间?
解 设t时该已流出的水的体积为V? 高度为x 则由水力学有 dV?0.62?0.5?(2?980)x? 即dV?0.62?0.5?(2?980)xdt?
dt 又因为r?xtan30??x?
3故 V???r2dx???x2dx?
3从而 0.62?0.5?(2?980)xdt???x2dx?
3即 dt??3?0.62?0.52?9803x2dx?
?2?x2?C? 因此 t?3?0.62?0.52?9805 又因为当t?0时? x?10? 所以C?故水从小孔流出的规律为
?3?5?0.62?0.52?9805102?
2?(102?x2)??0.0305x2?9.645? t?3?5?0.62?0.52?980555 令x?0? 得水流完所需时间约为10s?
4? 质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动? 这外力和时间成正比? 和质点运动的速度成反比? 在t?10s时? 速度等于50cm/s? 外力为4g cm/s2? 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？
解 已知F?kt? 并且法t?10s时? v?50cm/s? F?4g cm/s2? 故4?k10? 从而
v50k?20? 因此F?20t?
v 又由牛顿定律? F?ma? 即1?dv?20t? 故v dv?20tdt ? 这就是速度与时间应
dtv满足的微分方程? 解之得
1v2?10t2?C? 即v?20t2?2C?
2 由初始条件有1?502?10?102?C? C?250? 因此
2 v?20t2?500?
当t?60s时? v?20?602?500?269.3cm/s?
5? 镭的衰变有如下的规律? 镭的衰变速度与它的现存量R成正比? 由经验材料得知? 镭经过1600年后? 只余原始量R0的一半? 试求镭的量R与时间t的
函数关系?
解 由题设知?
dR???R? 即dR???dt?
dtR两边积分得
ln R???t?C1? 从而 R?Ce??t (C?eC1)?
因为当t?0时? R?R0? 故R0?Ce0?C? 即R?R0e??t?
又由于当t?1600时? R?1R0? 故1R0?R0e?1600?? 从而??ln2?
221600因此
?ln2tR?R0e1000?R0e?0.0004t3? 3
6? 一曲线通过点(2? 3)? 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分?
求这曲线方程?
解 设切点为P(x? y)? 则切线在x轴? y轴的截距分别为2x? 2y? 切线斜率为
2y?0y ???
0?2xx故曲线满足微分方程?
dyy??? 即1dy??1dx?
yxdxx从而 ln y?ln x?ln C? xy?C ?
因为曲线经过点(2? 3)? 所以C?2?3?6? 曲线方程为xy?6?
7? 小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线)? 设船速为a? 船行方向始终与河岸垂直? 又设河宽为h? 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k)? 求小船的航行路线?
解 建立坐标系如图? 设t时刻船的位置为(x? y)? 此时水速为v?dx?ky(h?y)? 故dx?ky(h?y)dt ? dt 又由已知? y?at? 代入上式得 dx?kat(h?at)dt ? 积分得
x?1kaht2?1ka2t3?C?
23 由初始条件x|t?0?0? 得C?0? 故x?1kaht2?1ka2t3?
23 因此船运动路线的函数方程为
??x?1kaht2?1ka2t3 ?2? 3??y?ay从而一般方程为x?k(hy2?1y3)?
a23
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