2005年高考数学试卷及答案 王新敞 （21）（本大题满分14分） 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA?OB与a?(3,?1)共线 （Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且OM??OA??OB (?,??R)，证明?2??2为定值
（22）（本大题满分12分）
（Ⅰ）设函数f(x)?xlog2x?(1?x)log2(1?x) (0?x?1)，求f(x)的最小值； （Ⅱ）设正数p1,p2,p3,?,p2n满足p1?p2?p3???p2n?1，证明
p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2nlog2p2n??n
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2005年高考数学试卷及答案 王新敞 2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案
（河北河南安徽山西海南）
参考答案
一、选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D
7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D
二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题
17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分 解：（Ⅰ）?x??8是函数y?f(x)的图像的对称轴，?sin(2?,k?Z. ??????0,???3?. 4?8??)??1,
??4???k???2（Ⅱ）由（Ⅰ）知???由题意得
3?3?,因此y?sin(2x?). 443???2k??,k?Z.
2423??5?)的单调增区间为[k??,k??],k?Z. 所以函数y?sin(2x?4883?3?))?|?|2cos(2x?)|?2 （Ⅲ）证明：∵ |y?|?|(sin(2x?442k???2x?所以曲线y?f(x)的切线斜率的取值范围为[-2,2]， 而直线5x?2y?c?0的斜率为
?5?2， 23?)的图像不相切 4所以直线5x?2y?c?0于函数y?f(x)?sin(2x?18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
P∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ME∴CD⊥面PAD.
NA又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD. B（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，
DC则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
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2005年高考数学试卷及答案 王新敞 在Rt△PEB中BE=2，PB=5， ?cos?PBE?BE10?. PB5?AC与PB所成的角为arccos10. 5（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN. 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM?(2AC2)?AC， 23?22?AN??52AN2?BN2?AB22?? . ∴AB=2，?cos?ANB?2?AN?BN356故所求的二面角为arccos(?).
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建
立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，). （Ⅰ）证明：因AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC.
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD. 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD 2312（Ⅱ）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),
故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以10cos?AC,PB???.5|AC|?|PB|由此得AC与PB所成的角为arccoszP
MAC?PBANBCy10. 5xD（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在??R,使NC??MC,
11NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??..
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2005年高考数学试卷及答案 王新敞 要使AN?MC,只需AN?MC?0即x?14z?0,解得??. 25412可知当??时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.555
1212此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?MC?05555由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB为所求二面角的平面
角.
??????30???30???????4?|AN|?,|BN|?,AN?BN??.
555????????????????AN?BN2???. ?cos(AN,BN)????????3|AN|?|BN|2故所求的二面角为arccos(?).
319．（Ⅰ）(?1,0)?(0,??).
（Ⅱ）又因为Sn?0,且?1?q?0或q?0,
1所以,当?1?q??或q?2时,Tn?Sn?0,即Tn?Sn;
21当??q?2且q?0时,Tn?Sn?0,即Tn?Sn;
21当q??,或q?2时,Tn?Sn?0,即Tn?Sn.
220．（Ⅰ） ? P 0 0.670 10 0.287 20 0.041 30 0.002 ?的数学期望为:
E??0?0.670?10?0.287?20?0.041?30?0.002?3.75
21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学
知识解决问题及推理的能力. 满分12分 x2y2（1）解：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),F(c,0)
abx2y2则直线AB的方程为y?x?c，代入2?2?1，化简得
ab(a2?b2)x2?2a2cx?a2c2?a2b2?0.
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