2005年高考数学试卷及答案 王新敞 a2ca2c2?a2b2 令A（x1,y1），B(x2,y2），则x1?x2?2,x1x2?.a2?b2a2?b2由OA?OB?(x1?x2,y1?y2),a?(3,?1),OA?OB与a共线，得
3(y1?y2)?(x1?x2)?0,又y1?x1?c,y2?x2?c，
?3(x1?x2?2c)?(x1?x2)?0,2a2c3c即2，所以a2?3b2.?22a?b故离心率e??x1?x2?3c. 26a， 3?c?a2?b2?c6?. a322x2y2（II）证明：（1）知a?3b，所以椭圆2?2?1可化为x2?3y2?3b2.
ab设OM?(x,y)，由已知得(x,y)??(x1,y1)??(x2,y2),
?x??x1??x2, ?M(x,y)在椭圆上，?(?x1??x2)2?3(?y1??y2)2?3b2. ???y??x1??x2.222即?2(x1?3y12)??2(x2?3y2)?2??(x1x2?3y1y2)?3b2.①
由（1）知x1?x2?3c232212,a?c,b?c. 22222．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力 满
分12分 （Ⅰ）解：对函数f(x)求导数：
f?(x)?(xlog2x)??[(1?x)log2(1?x)]?
?log2x?log2(1?x)? ?log2x?log2(1?x) 于是f?()?0，
11? ln2ln21211时，f?(x)?log2x?log2(1?x)?0，f(x)在区间(0,)是减函数， 2211当x?时，f?(x)?log2x?log2(1?x)?0，f(x)在区间(,1)是增函数，
2211所以f(x)在x?时取得最小值，f()??1，
22当x?（II）用数学归纳法证明 新疆奎屯市第一高级中学 E-mail: wxckt@126.com 第9页 （共10页）
2005年高考数学试卷及答案 王新敞 (ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k时命题成立
即若正数p1,p2,p3,?,p2k满足p1?p2?p3???p2k?1， 则p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2klog2p2k??k
当n=k+1时，若正数p1,p2,p3,?,p2k?1满足p1?p2?p3???p2k?1?1， 令x?p1?p2?p3???p2k
q1?pkp1p，q2?2，……，q2k?2 xxx则q1,q2,q3,?,q2k为正数，且q1?q2?q3???q2k?1，
由归纳假定知q1log2q1?q2log2q2?q3log2q3???q2klog2q2k??k
p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2klog2p2k
?x(q1log2q1?q2log2q2?q3log2q3???q2klog2q2k?log2x)
?x(?k)?xl2og x ①
同理，由p2k?1?p2k?2???p2k?1?1?x，可得
p2k?1log2p2k?1?p2k?2log2p2k?2???p2k?1log2p2k?1
?(1?x)(?k)?(1?x)log2(1?x) ②
综合①、②两式
p1log2p1?p2log2p2?p3log2p3???p2k?1log2p2k?1
?x(?k)?xlog2x?(1?x)(?k)?(1?x)log2(1?x) ?(?k)?xlog2x?(1?x)log2(1?x)
(? ??k?1??k1 )即当n=k+1时命题也成立 根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立
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