等比数列知识点总结

等比数列

知识梳理：

1、等比数列的定义：2、通项公式：

an?q?q?0??n?2,且n?N*?，q称为公比 an?1an?a1qn?1?a1nq?A?Bn?a1?q?0,A?B?0?，首项：a1；公比：q qn?m推广：an?amq3、等比中项：

?qn?m?ana?q?n?mn amam2（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：A?ab或A??ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项

互为相反数）

（2）数列?an?是等比数列?an?an?1?an?1

24、等比数列的前n项和Sn公式：

（1）当q?1时，Sn?na1 （2）当q?1时，Sn?a1?1?qn?1?q?a1?anq

1?q?5、等比数列的判定方法：

a1a ?1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'（A,B,A',B'为常数）

1?q1?q（1）用定义：对任意的n，都有an?1?qan或等比数列

an?1?q(q为常数，an?0)?{an}为an（2）等比中项：an?an?1an?1(an?1an?1?0)?{an}为等比数列 （3）通项公式：an?A?B6、等比数列的证明方法：

依据定义：若

n2?A?B?0??{an}为等比数列

an?q?q?0??n?2,且n?N*?或an?1?qan?{an}为等比数列 an?17、等比数列的性质：

（1）当q?1时

n?1①等比数列通项公式an?a1q指数函数，底数为公比q；

②前n项和Sn??a1nq?A?Bn?A?B?0?是关于n的带有系数的类qa1?1?qn?1?qa1?a1qna1a??1qn?A?A?Bn?A'Bn?A'，系

1?q1?q1?q数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q。 （2）对任何m,n?N，在等比数列{an}中，有an?amq*n?m，特别的，当m?1时，便得

到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（3）若m?n?s?t(m,n,s,t?N)，则an?am?as?at。特别的，当m?n?2k时，得

*an?am?ak2 注：a1?an?a2?an?1?a3an?2???

（4）数列{an}，{bn}为等比数列，则数列{为非零常数）均为等比数列。

（5）数列{an}为等比数列，每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等比数列

（6）如果{an}是各项均为正数的等比数列，则数列{logaan}是等差数列 （7）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2n?Sn，S3n?S2n,???，成等比数列

（8）若{an}为等比数列，则数列a1?a2?????an，an?1?an?2?????a2n，a2n?1?a2n?2??????a3n成等比数列

*ak}，{k?an}，{ank}，{k?an?bn}，{n}（kbnana1?0，则{an}为递增数列{（9）①当q?1时，a1?0，则{an}为递减数列 a1?0，则{an}为递减数列{②当0

③当q?1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q?0时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列{an}中，当项数为2n(n?N)时，

*S奇S偶?1 q二 例题解析

【例1】 已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}．（ ）

A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列

B．C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列

【例2】 已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．

1【例3】 等比数列{an}中，(1)已知a2=4，a5＝－，求通项公

2式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．

【例4】 设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 【例5】 求数列的通项公式：

(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2

(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0

三 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

141、数列?an?满足an??an?1?n?2?，a1?，则a4?_________．

332、在数列?an?中，若a1?1，an?1?2an?1?n?1?，则该数列的通项an?______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列?an?的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2?（ ） A．?4 B．?6 C．?8 D．?10 2、若a、b、c成等比数列，则函数y?ax?bx?c的图象与x轴交点的个数为（ ） A．0

B．1 C．2

D．不确定

23、已知数列?an?为等比数列，a3?2，a2?a4?20，求?an?的通项公式． 3考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

2911、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（ ）

383A．3 B．4 C．5 D．6

2、已知等比数列?an?中，a3?3，a10?384，则该数列的通项an?_________________． 3、若?an?为等比数列，且2a4?a6?a5，则公比q?________． 4、设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则

2a1?a2的值为（ ）

2a3?a411 C． D．1 2815、等比数列{an}中，公比q=且a2+a4+…+a100=30，则a1+a2+…+a100=______________.

2考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

A．

B．

1、在等比数列?an?中，如果a6?6，a9?9，那么a3为（ ）

1 4316 C． D．2 292、如果?1，a，b，c，?9成等比数列，那么（ ） A．b?3，ac?9 B．b??3，ac?9 C．b?3，ac??9 D．b??3，ac??9

A．4 B．

3、在等比数列?an?中，a1?1，a10?3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于（ ） A．81

B．27527 C．3 D．243

4、在等比数列?an?中，a9?a10?a?a?0?，a19?a20?b，则a99?a100等于（ ）

b10b9?b??b?A．8 B．?? C．9 D．??

aa?a??a?a3和a5是二次方程x?kx?5?0的两个根，5、在等比数列?an?中，则a2a4a6的值为（ ）

2910A．25 B．55 C．?55 D．?55

6、若?an?是等比数列，且an?0，若a2a4?2a3a5?a4a6?25，那么a3?a5的值等于 ?S1,(n?1)考点五：公式an??的应用

S?S,(n?2)n?1?n1、若数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an，满足条件log2Sn=n，那么{an}是( ) A.公比为2的等比数列 B.公比为

1的等比数列 2C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前n项和Sn=2n-1，则前n项的平方和为( )

A.(2n-1)2 B.

1n2 n1(2-1)C.4-1 D.(4n-1) 333、设等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+r，那么r的值为______________.

*

4、设数列{an}的前n项和为Sn且S1=3，若对任意的n∈N都有Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式;

(3)求数列{an}的前n项和Sn.