所以即：解得：当所以
或
（舍去）
时，等号成立，即：
时，等号成立.
的最小值为
【点睛】本题主要考查了基本不等式应用，考查转化能力及计算能力，属于中档题。
15.已知函数【答案】【解析】
，若
存在唯一的零点，且
，则的取值范围是______．
(i)当a=0时,f(x)=?3x2+1,令f(x)=0,解得x=±,函数f(x)有两个零点，舍去。
(ii)当a≠0时,f′(x)=3ax2?6x=3ax(x?),令f′(x)=0,解得x=0或2a.
①当a<0时,<0,当x<或x>0时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当
∴是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。 ∵函数f(x)=ax?3x+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则
3
2
，无解，舍去。
②当a>0时,>0,当x>或x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当0 ∴是函数f(x)的极小值点,0是函数f(x)的极大值点。 ∵函数f(x)=ax3?3x2+1存在唯一的零点x0,且x0<0,则f(>0,即?+1>0，a>0，解得a>2. - 9 - 综上可得：实数a的取值范围是(2,+∞). 故答案为：(2,+∞). 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 16.已知点在以①【答案】【解析】 【分析】 利用椭圆的对称性及 可得： 程，整理可得： ， 可得：点与原点重合，设 ，利用椭圆定义及 为焦点的椭圆上，点为该椭圆所在平面内的一点，且满足以下两个条件：；② ，则该椭圆的离心率为__________． ，再对角分别在两个三角形中利用余弦定理列方 ，问题得解。 【详解】依据题意作出图形如下： 因为为又设 的中点，所以 ，所以与原点重合. ，则 ， 中，由余弦定理可得： 由椭圆定义可得：所以在 及， - 10 - 整理得：所以 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，还考查了向量运算及椭圆定义，考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力，属于难题。 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分 17.已知函数（1）求； （2）设数列【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由函数f（x）＝log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，即可求出数列{an}的通项公式； （2）由等差数列的前n项和公式得=，进而求出= ，再由数列的分组求和即可得. ， 的前项和为， ；（2） ，求 的前项和. . 的图像经过点 和 ， ， . 【详解】（1）由函数f（x）＝log（的图象经过点A（2，1）和B（5，2），得3ax+b）解得所以 （2）由（1）知数列得 ， 为以1为首项，2为公差的等差数列，所以=. ， - 11 - 【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，数列的分组求和，等差数列和等比数列的求和公式，属于中档题. 18.如图所示，在底面为梯形的四棱锥S﹣ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，SA＝SC＝SD＝2． （1）求证：AC⊥SD； （2）求三棱锥B﹣SAD的体积． ， 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）取AC中点O，连结OD，SO，由等腰三角形的性质可知AC⊥SO，AC⊥OD，故AC⊥平面SOD，于是AC⊥SD； （2）由△ASC是等边三角形可求得SO，AC，结合已知条件，利用勾股定理得AD⊥CD，SO⊥OD，故SO⊥平面ABCD，再利用三棱锥体积转化计算即可． 【详解】（1）取AC中点O，连结OD，SO，∵SA＝SC，∴SO⊥AC，∵AD＝CD，∴OD⊥AC， 又∵OS?平面SOD，OD?平面SOD，OS∩OD＝O，∴AC⊥平面SOD，∵SD?平面SOD，∴AC⊥SD． （2）∵SA＝SC＝2，∠ASC＝60°，∴△ASC是等边三角形，∴AC＝2，OS＝∵AD＝CD＝ ，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，OD＝ ＝1． ， ∵SD＝2，∴SO2+OD2＝SD2，∴SO⊥OD， 又∵SO⊥AC，AC?平面ABCD，OD?平面ABCD，AC∩OD＝O，∴SO⊥平面ABCD， - 12 -
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