信号与系统课后习题答案汇总

第一章习题参考解答

1.1 绘出下列函数波形草图。

(1) x(t)?3e?|t|

(2) x(n)???n??12?n?0??2n n?0(3) x(t)?sin2?t?(t) (4) x(n)?sin?n(2)?(n) 14(5) x(t)?e?tcos4?t[?(t)??(t?4)]

(6) 0.5x(n)?3n[?(n?1)??(n?4)] (7) x(t)?[?(t)??(t?2)]cos?2t

(8) 0x...(n)?n[?(n?3)??(n?1...)] -3-2-10123(9) x(t)??(t)?2?(t?1)??(t?2)

(10) x(n)?n[?(nn)??(n?5)]?5?(n?5) (11) x(t)?ddt[?(t?1)??(t?1)] (12) x(n)??(?n?5)??(?n) (13) x(t)??t???(??1)d?

(14) x(n)??n?(?n)

1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。 (1) x(t)?3e?|t|

解 能量有限信号。信号能量为：

(2) x(n)?????12?nn?0n

??2n?0解 能量有限信号。信号能量为：

(3) x(t)?sin2?t

解 功率有限信号。周期信号在(??,?)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，sin2?t的周期为1。 (4) x(n)?sin?4n

解 功率有限信号。sin?4n是周期序列，周期为8。

(5) x(t)?sin2?t?(t)

解 功率有限信号。由题(3)知，在(??,?)区间上sin2?t的功率为1/2，因此sin2?t?(t)在(??,?)区间上的功率为1/4。如果考察sin2?t?(t)在(0,?)区间上的功率，其功率为1/2。 (6) x(n)?sin?4n?(n)

解 功率有限信号。由题(4)知，在(??,?)区间上sin?4n的功率为1/2，因此sin?4n?(n)在(??,?)区间上的功率

为1/4。如果考察sin?4n?(n)在(0,?)区间上的功率，其功率为1/2。

(7) x(t)?3e?t

解 非功率、非能量信号。考虑其功率： 上式分子分母对T求导后取极限得P??。 (8) x(t)?3e?t?(t)

解 能量信号。信号能量为：

1.3 已知x(t)的波形如题图1.3所示，试画出下列函数的波形。

(1) x(t?2) 1

-1 0 1 2 (2) x(t?2) 1

0 1 2 3 4 1 -3 -2 -1 0 (3) x(2t)

题图1.3 (4

1

-1/2 0 1 1

-2 -1 0 1 2 3 4

1 1 -2 -1 0 1 0 1 2 3 (5)

(7) x(?t?2)

1 -4 -3 -3 -1 0 x(?t)

(8) x(?2t?2)

(

(9)

1

0 1 3/2 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1x(t?2) 2

(10) x(?

1t?2) 2(11) x(t)?x(t?2)

1 -8 -4 -2 0 12

1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (12) x(2t)?x(t)

12

1 -1/2 0 1 1

-1 0 3/2 1/2 -1 0 1 2 t

(14)

?1t2?t?12?2?1t?2?t???x(?)d?=???3?2??0

(1) x1(2t)

?1?t?00?t?2

t?2t??1 1.4 已知x1(t)及x2(t)的波形如题图1.4所示，试分别画出下列函数的波形，并注意它们的区别。

2 1 -1 0 1 2 1 1 (2) x1(t) 2 0 1 2 3 4 2 1 -2 0 2 2 1 -1/2 1/2

(3) x2(2t)

(a) (b) 题图1.4 2

1

1.5已知x(n)的波形如题图1.5所示，试画出下列序列的波形。 0 1 2 t

2

1 0 4 8

(1)x(n?4) 2 2 2 1 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 2 2 2 1 1 (2) x(?n) -1 0 1 2 3 2 2 2 1 1 -3 -2 -1 0 1

(3) x(?n?3) (4) x(?n?3) 2 2 2 1 1 题图1.5 0 1 2 3 4 2 2 2 1 1 -6-5 -4 -3 -2 -1 0

(5) x(?n?3)+x(?n?3)

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 -6-5–4 -3–2 –1 0 1 2 3 4 (6) x(?n?3)?x(?n?3)?0(图略)

(7) ?x(n)?x(n)?x(n?1)

(8)

m????x(m)

1 1

-4 n -1 0 1 2 3 -2 8 8 8 6 4

2 … 1 -1 0 1 2 3 4 5 n

1.6 任何信号可以分解为奇分量和偶分量的和：

x(t)?xe(t)?xo(t) 或 x(n)?xe(n)?xo(n) 其中xe为偶分量；xo为奇分量。偶分量和奇分量可定：

以由下式确

xe(t)?1[x(t)?x(?t)]， 2xo(t)?1[x(t)?x(?t)] 211xe(n)?[x(n)?x(?n)]， xo(n)?[x(n)?x(?n)]

22(1) 试证明xe(t)?xe(?t)或xe(n)?xe(?n)；xo(t)??xo(?t)或 2

xo(n)??xo(?n)。

(2) 试确定题图和奇分量，并绘出其

(1) 证明 根据偶分离散序列的证明类(2) 根据定义可绘出

1

0 1 2 1

-2 -1 0 (a) 1 0 1 2 下图 -3 -2 -1 (b) 0 1 2 n 题图1.6 -1 -2 -3 1/2 -2 -1 0 1 2 1/2 -3 3 -2 -1

0 n

0 1 2 t -3/2 -3/2 1 2 3 n

2 -2 -1 0 1 -1 n -2 1 2 3 -3 -2 -1 0 -1 -2 2 -3 1 1 1.6(a)和(b)所示信号的偶分量波形草图。 量和奇分量的定义： 似。

-3/2 2 1 1 2 3 -3 -2 -1 0 n -1 -2 -3/2 1.7 设x(n)?2n，试求?x(n),?x(n),?x(n),?x(n)。

22nn?1?解 ?x(n)?x(n)?x(n?1)?2?21n?2?2n?1 2

1.8 判断下列信号是否为周期信号，若是周期的，试求其最小周期。 (1) x(t)?cos(4t?) 6?解 周期信号，T1?

2(2) x(t)?sin(2?t)?(t)

解 非周期信号。 (3) x(t)?e?t?cos(2?t)

解 非周期信号。 (4) x(t)?ej(t?3)4

?解 周期信号，T1?8。 (5) x(t)?asin(5t)?bcos(?t)

若a?0,b?0, 则x(t)为周期信号，T1a? 若a?0,b?0, 则x(t)为非周期信号。 (6) x(n)?cos(2?5 ；

解 若a?0,b?0, 则x(t)为周期信号，T1b?2；

n?3)

8解 周期信号，N1?16。 79解 周期信号，N1?18。 (8) x(n)?con(16n)

(7) x(n)?cos(?n) 解: 非周期信号。 (9) x(n)?ej2?n15?

解: 周期信号，N1?15。 (10) x(n)?3cos(?6n)?sin(?3n)?2sin(?n?) 43?解: 周期信号，最小公共周期为N1?24。 1.9 计算下列各式的值。 (1)

???x(t?t0)?(t)dt

???x(?t0)?(t)dt=x(?t0).

??解: 原式?(2)

t???x(??t0)?(?)d?

???x(?t0)?(?)d??解: 原式?(3)

?t?x(?t0)??(t)

???x(t0?t)?(t)dt

???x(t0)?(t)dt?x(t0)

??x'(?t0)

解: 原式?(4)

????x(t?t0)?'(t)dt

t?0解: 原式??x'(t?t0)