3.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. (1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
4.(2015浙江衢州二中期中,21)椭圆的中心在坐标原点,长轴的端点为A,B,右焦点为F,且·=1,||=1. (1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右焦点F作直线l1,l2,直线l1与椭圆分别交于点M,N,直线l2与椭圆分别交于点P,Q,且l1⊥l2,求四边形MPNQ的面积S的最小值以及此时直线l1,l2的方程.
5.(2015浙江模拟训练冲刺卷四,18)已知点F是抛物线C1:x=4y的焦点,过抛物线上一点P作抛物线的切线l,切点P在第一象限,如图.切线l与椭圆C2:+=1相交于不同的两点A、B. (1)若|FA|,|FP|,|FB|依次成等差数列,求直线l的方程; (2)设定点M,求△MAB的面积S的最大值.
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6.(2015浙江冲刺卷六,18)已知椭圆E1:+=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线E2:x=4y的焦点F重合,点M是两曲线的一个公共点,且|MF|=. (1)求椭圆E1的方程;
(2)过点F作斜率为k(k≠0)的直线l交抛物线E2于A,C两点,交椭圆E1于B,D两点,如图.设=m,=λ,当≤m≤时,求λ的取值范围.
2
7.(2015金丽衢一联,21,15分)已知抛物线Γ:y=2px的焦点到准线的距离为2. (1)求p的值;
(2)如图所示,直线l1与抛物线Γ相交于A,B两点,C为抛物线Γ上异于A,B的一点,且AC
2
⊥x轴,过B作AC的垂线,垂足为M,过C作直线l2交直线BM于点N,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1k2=1.
(i)线段|MN|的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; (ii)求证:A,B,C,N四点共圆.
8.(2015浙江冲刺卷三,22,15分)如图,已知点F为抛物线C:y=4x的焦点,斜率为1的直线l交抛物线于不同的两点P,Q,其中点P在第一象限.过点P作抛物线的切线交x轴于点M,在x轴的负半轴上取点N,使得|NF|=|QF|,直线QN交直线PM于点T. (1)证明:点T的纵坐标为定值;
(2)连结FT,FP,记S1=S△PFT,S2=S△QFT,S3=S△PQT,当=时,求直线l的方程.
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Ａ组 基础题组
1.解析 (1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得b=1. 设椭圆的右焦点为(c,0),则=2,解得c=, 所以a=b+c=4.
于是椭圆C的标准方程为+y=1.
(2)存在.由椭圆的对称性,不妨设P1(m,n),P2(m,-n),由题意知,点E在x轴上, 设点E(t,0),则圆E的方程为(x-t)+y=(m-t)+n.
由题中椭圆的内切圆的定义知,椭圆上的点到点E的距离的最小值是|P1E|, 设点M(x,y)是椭圆C上任意一点,则|ME|=(x-t)+y=x-2tx+t+1, 当x=m时,|ME|最小,所以m=-=.①
假设椭圆C存在过左焦点F的内切圆,则(--t)=(m-t)+n.② 又点P1在椭圆上,所以n=1-.③ 由①②③得t=-或t=-,
当t=-时,m==<-2,不合题意,舍去,且经验证,t=-符合题意, 综上,椭圆C存在过左焦点F的内切圆,圆心E的坐标是. 2.解析 (1)由条件得∴m≥1.(2分) 由得(m+2)x+4(m+1)x+3(m+1)=0, Δ=16(m+1)-12(m+2)(m+1) =4(m+1)(m-2)≥0,∴m≥2.(5分)
则|PF1|+|PF2|=2≥2,当且仅当m=2时,取等号,此时椭圆的方程为+y=1.(8分) (2)假设存在斜率为k(k≠0)的直线满足题意,设该直线方程为y=kx+n(k≠0). 由得(1+3k)x+6knx+3n-3=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. ∴AB的中点为,(12分) 由已知得·k=-1,
∴1+3k=2n,又由(6kn)-4(1+3k)(3n-3)>0,解得k<1,又∵k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1).(15分)
3.解析 (1)由题意得解得a=2. 故椭圆C的方程为+y=1. 设M(xM,0).
因为m≠0,所以-1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
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