(完整版)2019届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试题

?4km22m2()()22?1?2k?1整理得1?2k2?2m2………………10分 因为点D在曲线C上，所以有1?2k42由题意四边形OMDN为平行四边形，所以四边形OMDN的面积为

SOMDN2222m22m4k?2?m224k?2?m?MNd?1?k2??………………11分 221?2k21?2k1?k22由1?2k?2m得SOMDN?6, 故四边形OMDN的面积是定值，其定值为6．………………12分

1?121.解：（1）由于f'(x)?x2(1?2a?alnx)，

2则①当a?0时，f'(x)?0?lnx?即当x?(0,e当x?(e1?2aa1?2aa1?2a， a)时，f'(x)?0，f(x)单调递增；

,??)时，f'(x)?0，f(x)单调递减；

1?2aa故f(x)在x?e则0?e1?2aa处取得极大值，

?1，解得：a?1； ………………………………3分 2②当a?0时，f'(x)?0恒成立，f(x)无极值，不合题意舍去；………………4分 ③当a?0时，f'(x)?0?lnx?即当x?(0,e当x?(e1?2aa1?2aa1?2a， a)时，f'(x)?0，f(x)单调递减；

,??)时， f'(x)?0，f(x)单调递增；

1?2aa故f(x)在x?e因此当a?处取得极小值，不合题意舍去；

1时，f(x)在(0,1]上存在极大值点； ………………6分 211（2）法一：令a?，f(x)?x(1?lnx)，

22由（1）得：f(x)在x?1处取得极大值1，且该极值是唯一的，

则11)，当且仅当x?1时取“=”，………………8分 x(1?lnx)?1，即lnx?2(1?2x124)?2??2??2?4(i?i?1)，………………10分 iii?i?1故当i?2时，lni?2(1?页 9第

因此

?lni??lni??[2?4(i?1i?2i?2nnni?i?1)]?2(n?1)?4(n?1)?2(n?1)2．………………12分

n法二：下面用数学归纳法证明：

?lni?2(i?1n?1)2，对?n?N?,n?2恒成立．

（1）当n?2时，左边?ln2?lne?左边?右边，结论成立；

（2）假设当n?k时，结论成立，即

k?1i?1k11212，右边?2(2?1)?2?()?， 222?lni?2(i?1kk?1)2，

当n?k?1时，左边??lni??lni?ln(k?1)?2(i?1k?1)2?ln(k?1)

?2(k?1?1)2?2(1?2k?2k?1)?ln(k?1)，

而ln(k?1)?2(1?2k?2k?1)?ln(k?1)?2?令a?42?ln(k?1)?2?，

k?1?kk?111，f(x)?x(1?lnx)， 22由（1）得：f(x)在x?1处取得极大值1，且该极值是唯一的，

则11)，当且仅当x?1时取“=”x(1?lnx)?1，即lnx?2(1?， ………………10分 x21?0对?k?N?恒成立，即 k?1则ln(k?1)?2?2(k?1?1)2?2(1?2k?2k?1)?ln(k?1)?2(k?1?1)2成立

故当n?k?1时，结论成立， 因此，综合（1）（2）得

?lni?2(i?1nn?1)2，对?n?N?,n?2恒成立．………………12分

2222.（Ⅰ）曲线C:??2?cos??4?sin??4的直角坐标方程为：x?y?2x?4y?4； 即(x?1)?(y?2)?9

222l1:?(cos??sin?)?3的直角坐标方程为：x?y?3?0.……………4分

?x??1?tcos?l（Ⅱ）直线2的参数方程?（t为参数），

y?tsin??页

10第

将其代入曲线C的普通方程并整理得t2?4(cos??sin?)t?1?0， 设A,B两点的参数分别为t1,t2，则

t1?t2?4(cos??sin?)…………………………………………………7分

因为M为AB的中点，故点M的参数为t1?t2?2(cos??sin?)，……8分 2?x??1?tcos?4t设N点的参数分别为3，把?代入x?y?3?0整理得t3?………9分

y?tsin?cos??sin??所以|PM|?|PN|?|

23.解：（1）因为2x?2?2x?1?t?0所以2x?2?2x?1?t 又因为2x?2?2x?1?2x?2?(2x?1)?3………………………3分 所以t?3………………………5分 （2）由（1）可知，a?3,则

t1?t24|?|t3|?2|cos??sin?|?||?8.………10分 2cos??sin?12114??(?)[(m?p)?(2n?2p)] 方法一：m?pn?p3m?p2n?2p12n?2p4(m?p)12n?2p4(m?p)?[1?4??]?(1?4?2?)?3 3m?p2n?2p3m?p2n?2p ?12??3………………………10分 m?pn?p12114??(?)[(m?p)?(2n?2p)] m?pn?p3m?p2n?2p 方法二：利用柯西不等式 ?114(?m?p??2n?2p)2?3 3m?p2n?2p12??3…………………10分 m?pn?p ?

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