专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列
年份 卷别 卷Ⅰ 2018 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 卷Ⅱ 2017 卷Ⅲ 考查内容及考题位置 等差数列基本量的计算·T4 an与Sn关系的应用·T14 命题分析 等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考等差数列基本量的计算、和的最值问题·T17 查基本运算、基本概念的等比数列基本量的计算·T17 等差数列的通项公式、前n项和公式·T4 等比数列的概念、前n项和公式、数学文化·T3 等差数列的前n项和公式、通项公式及等比中项·T9 等比数列的通项公式·T14 同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题.
2016 卷Ⅰ 等差数列的基本运算·T3 等比数列的运算·T15 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式
等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn1.
－
求和公式
n（a1＋an）n（n－1）
等差数列：Sn＝＝na1＋d；
22a1（1－qn）a1－anq
等比数列：Sn＝＝(q≠1)．
1－q1－q 性质 等差数列 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am性质 ＋an＝ap＋aq an＝am＋(n－m)d Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 等比数列 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq an＝amqnm －Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比
数列(Sn≠0) [考法全练] S111．(2018·贵阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝( )
S511
A. 511C. 10
5B. 2222D. 5
11
（a1＋a11）
S11211a622
解析：选D.＝＝＝.故选D.
S555a35
（a＋a）215
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 C．10
B．－10 D．12
3×2解析：选B.设等差数列{an}的公差为d，因为3S3＝S2＋S4，所以3(3a1＋d)＝2a1＋d
24×33
＋4a1＋d，解得d＝－a1，因为a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)
22＝－10.故选B.
3．(2018·郑州模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为 ( )
A．－3 C．－3或1
B．1 D．1或3
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2
＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n，3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，
a1（1－qn）a1（1－qn2）所以Sn＝，Sn＋2＝，
1－q1－q
＋
代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成
2
???4－q＝0，?a1＝1，??a1＝－3，??立，则有解得或?故a1＝1或－3，故选C. ?3＋3a1－3q＝0，?q＝2?q＝－2，???
a204．(2018·南宁模拟)在等比数列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，则＝________．
a10
63
解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，由a2a6＝16得a24.由1q＝16，所以a1q＝±
a20
a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1.于是＝q10＝1.
a10
法二：由等比数列的性质，得a24＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8，
???a4＝4，??a4＝－4，?a4＝4，2
所以?或?因为a6＝a4a8>0，所以?则公比q满足q4＝1，q2＝1，
?a8＝4?a8＝12.?a8＝4，???
a20所以＝q10＝1.
a10
答案：1
5．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn1.
－
由已知得q4＝4q2，
解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n
－1
或an＝2n1.
－
(2)若an＝(－2)
n－1
1－（－2）n
，则Sn＝.
3
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n1，则Sn＝2n－1.
－
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.
等差、等比数列的判定与证明(综合型)
证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数； ②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)证明{an}是等比数列的两种基本方法： an＋1
①利用定义，证明(n∈N*)为一常数；
an②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．
[典型例题]
设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足
bn－1
b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)．
1＋bn－1
(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；
1
(2)判断数列{}是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．
bn【解】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；
an1
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即＝(n≥2，n∈N*)．
an－121
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
21?
故数列{an}的通项公式为an＝??2?(2)因为a1＝1， 所以b1＝2a1＝2. bn－1因为bn＝，
1＋bn－111所以＝＋1，
bnbn－111即－＝1(n≥2)． bnbn－1
11
所以数列{}是首项为，公差为1的等差数列．
bn2
2n－1112
所以＝＋(n－1)·1＝，故数列{bn}的通项公式为bn＝. bn222n－1
判断(证明)等差(比)数列应注意的问题
(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．
(2)证明数列{an}为等比数列时，不能仅仅证明an＋1＝qan，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{an}为等比数列．
[对点训练]
记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得
??a1（1＋q）＝2，? 2
?a1（1＋q＋q）＝－6.?
n－1
.
解得q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
n1
a1（1－qn）2n2(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1).
331－q
＋
24
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n
3
n＋3
n1
－2n22n2＝2[－＋(－1)]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2333
＋
＋
成等差数列．
Sn，an关系的应用(综合型)
数列{an}中，an与Sn的关系
??S1，n＝1，an＝?
?S－S，n≥2.－?nn1
求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中，满足通项an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
[典型例题]
(1)(2018·合肥第一次质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，
则a2 018＝( )
A．22 018－1 1?C．??2?2 018
an＋1
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累乘法求数列的an
B．32 018－6 1?D．??3?2 018
7
－ 210－ 3
(2)(2018·福州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an.
①证明：数列{bn}是等比数列；
bn②设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn. 2（4n－1）2n【解】 (1)选A.因为a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3.
当n≥2时，3Sn＝2an－3n，3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．
所以an＋1＝(－2)×(－2)n1＝(－2)n，
－
则a2 018＝22 018－1.
(2)①证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an， bn＋1an＋2－an＋1（3an＋1－2an）－an＋12（an＋1－an）所以＝＝＝＝2，
bnan＋1－anan＋1－anan＋1－an又b1＝a2－a1＝2－1＝1，
所以数列{bn}是以1为首项，以2为公比的等比数列． ②由①知bn＝1×2n1＝2n1，
－
－
相关推荐：
loading