第4章 不定积分
内容概要 名称 不 定 积 分 计 算 方 法 性 质 不 定 积 分 的 概 念 主要内容 设f(x)， x?I，若存在函数F(x)，使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) 或dF(x)?f(x)dx，则称F(x)为f(x)的一个原函数。 f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I上的不定积分，记为 ?f(x)dx?F(x)?C 注：（1）若f(x)连续，则必可积；（2）若F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性质1：性质2：?f(x)dx??f(x)或d?f(x)dx??f(x)dx； ?????dx?d?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C； ??f(x)dx???g(x)dx，?,?为非零常数。 性质3：[?f(x)??g(x)]dx?? 第一换元 积分法 （凑微分法） 第二类 换元积 分法 设f(u)的 原函数为F(u)，u??(x)可导，则有换元公式： ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零，f[?(t)]??(t)有原函数F(t)，则 ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(??1(x))?C 分部积分法 ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 有理函数积分 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
1
★(1)
?xdx2 x1x2?52思路: 被积函数 x?52?x，由积分表中的公式（2）可解。
解：?dxx2x??xdx??23x?32?C
★(2)
3(?x?1x)dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?(x?★(3)（231x21)dx??(x3?x?121)dx??x3dx??x?12dx?3441x3?2x2?C
?x?x）dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：?（2?x）dx?★(4)
x2?2dx?x?xdx?22xln2?13x?C
3?x(x?3)dx
思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
31解：?x(x?3)dx??x2dx?3?x2dx?2553x2?2x2?C
★★(5)
?3x?3x?1x?14242dx
思路:观察到
分。
3x?3x?1x?122?3x?21x?12后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积
解：?3x?3x?1x?1x22242dx??3xdx?2?1?x12dx?x?arctanx?C
3★★(6)
?1?xdx
思路:注意到
x221?x?x?1?11?x22?1?11?x2，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
2
解：?x21?xdx?2?dx??11?x2dx?x?arctanx?C.
注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分
解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)（?x2x2-1x1x+3x3-4x4）dx
思路:分项积分。 解：?（?14-2+3x3-4x4）dx?x?21243?xxdx??3?x1dx?3?xdx?4?xdx
?3?4x?ln|x|?32??C.
★(8)
?(31?x2?21?x2)dx
思路:分项积分。 解：?(31?x2?21?x2)dx?3?11?x2dx?2?11?x2dx?3arctanx?2arcsinx?C.
★★(9)
?xxxxxdx
1思路:解：?x?？看到7xxx?x2dx?81515?148?17?x8，直接积分。
xxxdx??x8x8?C.
★★(10)
?x12(1?x)2dx
思路:裂项分项积分。 解：?1x(1?x)22dx??(1x2?11?x2)dx??x12dx??1?x12dx??1x?arctanx?C.
★(11)
?e?1e?1e2xx2xxdx
(e?1)(e?1)e?1xxx解：?★★(12)
?1e?1dx??dx??(ex?1)dx?e?x?C.
x?3xedx
xxxx（3e）。 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然3e? 3
解：?3edx??（3e）dx?★★(13)
xxx（3e）ln(3e)x?C.
?cotxdx
2思路:应用三角恒等式“cot2x?csc2x?1”。 解：?cot2xdx??(csc2x?1)dx??cotx?x?C
★★(14)
?2?3?5?23xxxdx
思路:被积函数
2?3?5?23xxxx2x?2?（5），积分没困难。
32x()2?3?5?22x3解：?dx?（2?（5））dx?2x?5?C. x?33ln2?ln32xdx ★★(15)cos?2思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
x解：?cos★★(16)
2x2d?1?1?cosx2dx?12x?12sinx?C.
?1?cos2xdx
1dx?思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解：?★(17)
?cosx?sinxdx
221?cos2xcos2x?2cos12xdx?12?secxdx?212tanx?C.
思路:不难，关键知道“cos2x?cosx?sinx?(cosx?sinx)(cosx?sinx)”。 解：?★(18)
cos2xcosx?sinxcos2x2dx??(cosx?sinx)dx?sinx?cosx?C.
?cosx?sinx2dx
22思路:同上题方法，应用“cos2x?cosx?sinx”，分项积分。
cos2xcosx?sinx2解：??22dx??cosx?sinxcosx?sinx2222dx??sin12xdx??cos12xx
?cscxdx??secxdx??cotx?tanx?C.
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