不定积分例题及答案 - 理工类 - 吴赣昌[1]

?lnxlnlnx?lnx?C?lnx(lnlnx?1)?C.

★★★ (17)

?xsinxcosxdx

?21xsin2xdx?1214思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?xsinxcosxdx???★★(18)

?xd(?12cos2x)??1814xcos2x?14?cos2xdx

14xcos2x?xcos2218?cos2xd2x??xcos2x?sin2x?C.

?x2dx

1?cosx2，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺

思路：先将cos2序凑微分即可。

x2降幂得

解：?xcos??16161622x2dx??(12x?2123xcosx)dx?21?2xdx?21?x22cosxdx

x?x?33121212?xdsinx?2216x?12xsinx?16x?32122?2xsinxdx?cosxdxxsinx??xdcosx?12

xsinx?xcosx??x?3xsinx?xcosx?sinx?C

2★★(19)

2(x??1)sin2xdx

思路：分项后对第一个积分分部积分。 解：?(x?1)sin2xdx????1212xcos2x?1222?xsin2xdx?2?sin2xdx?cos2x??121212?xd(?212cos2x)?12cos2x

122?2xcos2xdx?1212xcos2x?1221xdsin2x?2cos2x??12122xcos2x?1212xsin2x?1434cos2x??sin2xdx?cos2x?C12cos2x

????xcos2x?xcos2x?3xsin2x?xsin2x?2cos2x?C??(xsin2x?32)cos2x?x2sin2x?C.★★★(20)

?e3xdx

思路：首先换元，后分部积分。 解：令t?x，则x?t3,dx?3t2dt,

21

??e3xdx?t?ext3tdt?3?etdt?3?tde?3te?3?2tedtt2ttt2ttt2t22t2tt?3te?3?2tde?3te?6et?6?edt?3te?6et?6e?C ?3xe★★★(21)

3232?6e3x3x?6e3x?C?3e3x(x?23x?2)?C.32?(arcsinx)2dx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?(arcsinx)2dx?x(arcsinx)2?arcsinx1?x2?2x?2arcsinx1?x2dx

?x(arcsinx)?2?d(1?x)?x(arcsinx)?2?arcsinxd(1?x)

222?x(arcsinx)?21?xarcsinx?2?1?x?222211?x22dx2?x(arcsinx)?21?xarcsinx?2?dx?x(arcsinx)?21?xarcsinx?2x?C.★★★(22)

?exsinxdx

2思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：方法一：

?esinxdx??esinx??x2x2?sinxde?esinx??esin2xdx?sin2xdexxxxx2xx2xe?2sinxcosxdx

?esin2x?x?exsin2xdx??ex2cos2xdx?esin2x?2?cos2xdexx?esin2x?2ecos2x?4?esin2xdx??esin2xdx???esinxdx?x2xxe(sin2x?2cos2x)5ex2?C

5(5sinx?sin2x?2cos2x)?C方法二： ?esinxdx?xx2?ex1?cos2x2xdx?x12?edx?x12x?ecos2xdx?xx12e?x12?ecos2xdx

xx??ecos2xdx?x?cos2xde?ecos2x??e2sin2xdx?ecos2x?2?sin2xde

xx?ecos2x?2esin2x?4?ecos2xdx??ecos2xdx???esinxdx?x2xe(cos2x?2sin2x)5exx?Cx

2?15esin2x?x110ecos2x?C 22

★★★(23)

?ln(1?x)xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?令t?ln(1?x)xdx??ln(1?x)d(2x)=2xln(1?x)??1?xdx

2xx，则dx?2tdt,

??1?x2xdx?4?t21?tdt?4?dt?4?2x?C11?t2dt?4t?4arctant?C

?4x?4arctan所以原积分

?ln(1?x)xxdx?2xln(1?x)?4x?4arctanx?C。

★★★(24)

?ln(1?e)exdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?ln(1?e)e?xxxdx??ln(1?e?1?ee?xx)d(?e?x)??e?xln(1?e)??e1x?xexx1?e?xdx

??e??eln(1?e)?xxdx??e?x?x?xln(1?e)?x?1?e?xd(1?e)

?xln(1?e)?ln(1?e1)?C.注：该题中?dx的其他计算方法可参照习题4-2，2（33）。 x1?e1?x★★★(25)xln?1?xdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?xln1212121?x1?xdx??lnx21?x1?xd(12x)?212xln21?x1?x?12?1x21?x1?x?1?x?dx 21?x(1?x)??xlnxln221?x1?x1?x1?x1?x1?x??1?x1212dx?211?x1?x1?x12?xln121?x1?x??dx?12xln2?1?x1?x1?x2dx

2?x??(ln1?x)dx?122?x?12??ln(1?x)?ln(1?x)??xln?x??C?(x?1)ln1?x1?x?x?C

注： 该题也可以化为 ?xln1?x1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx再利用分部积分法计算。

23

?xln1?xdx??x[ln(1?x)?ln(1?x)]dx??[ln(1?x)?ln(1?x)]d ?x21?xx22

2x2ln1?x1?x??x22?[11?x2?11?x]dx?x22ln1?x1?x??1?xx22dx

1?x1?x?1x1?x111 ? xln??dx?ln?dx?[?]d2??21?x1?x21?x2?1x?1xx1?x11?xln?x?ln?C 21?x2?1x22 ?★★★(26)

?sin2xcosx

dxsin2xcosx 写成

dx思路：将被积表达式

dx2sinxcosxsecxdx2sinxtanx2sinx?22?secxdx2sinxdtanx2sinx2?dtanx2sinx，然后分部积分即可。

解：?dxsin2xcosx?12??2sinxcosdx2x????

??tanx2sinx12?tanx(?cscxcotx)dx?1cscxdx?2

(secx?lncscx?cotx)?C.2、 用列表法求下列不定积分。

知识点：仍是分部积分法的练习。

思路分析：审题看看是否需要分项，是否需要分部积分，是否需要凑微分。按照各种方法完成。我们仍

然用一般方法解出，不用列表法。

★(1)

3x?xedx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?xedx?★(2)

x3x?13x13x1xd(e)?xe?333?edx?3x13xe3x?19?ed3x?3x13(x?13)e3x?C.

?(x?1)edx

?(x?1)de?(x?1)e??edx?xe?C。

xxxx思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?(x?1)exdx?★(3)

?x2cosxdx

思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?x2cosxdx??xdsinx?xsinx?2?xsinxdx?xsinx?2?xdcosx

222 24