22?xsinx?2xcosx?2?cosxdx?xsinx?2xcosx?2sinx?C
★(4)
?(x?1)e2?xdx
思路：分项后分部积分即可。 解：?(x2?1)e?xdx???e??e??e★(5)
?x?x2e?xdx??e?xdx??x2?x2d(?e?x)??x?e?xdx
?xx?2?xex?2xe22?xdx??e?x?xdx??ex?2?xd(?e?x2)??edx
?x?x2?x?2?edx??e?xdx??ex?2xe?x?3?edx?x(x?2x?3)?C.
?xln(x?1)dx
11212思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：?xln(x?1)dx??12xln(x?1)??x2?ln(x?1)d(2x?(x?1?1x?12)?xln(x?1)-221214?x?1dx
x?2x212)dx?xln(x?1)?12x?12ln(x?1)?C.
★(6)
?ecosxdx
思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。 解：??e?xcosxdx???e??e?x?x?cosxd(?e?x?x)??e?x?xcosx??x?e?xsinxdx
?xcosx??sinxd(?ee?x)??ecosx?esinx??ecosxdx
(sinx?cosx)?C.cosxdx?sinxx2★3、已知是f(x)的原函数，求
?xf?(x)dx。
sinxx知识点：考察原函数的定义及分部积分法的练习。
思路分析：积分 ?xf?(x)dx中出现了f?(x)，应马上知道积分应使用分部积分， 条件告诉你
是f(x)的原函数，应该知道
?f(x)dx?sinxx?C.
解：?又??xf?(x)dx??xd(f(x))=xf(x)??f(x)dx?sinxx?C,?f(x)??f(x)dx
,?xf(x)?2xxcosx?sinxx;
?xcosx?sinxx2??xf?(x)dx?xcosx?sinxxsinxx?C?cosx?sinx?C
★★4、已知f(x)=exx，求
?xf??(x)dx。
25
知识点：仍然是分部积分法的练习。
思路分析：积分?xf??(x)dx中出现了f??(x)，应马上知道积分应使用分部积分。 解：??xf??(x)dx?又?f(x)=?xd(f?(x))?xf?(x)??xe?exe2xxxf?(x)dx?xf?(x)?f(x)?C.
exx,?f?(x)=?e(x?1)xx2,?xf?(x)=e(x?1)xx;
??xf??(x)dx??e(x?1)xxx?x?C?e(x?2)x?C.
1cosxn?1★★★★5、设In?sindxnx，(n?2)；证明：In??n?1sin?x?n?2n?1In?2。
知识点：仍然是分部积分法的练习。
思路分析：要证明的目标表达式中出现了In，
1sinxncosxsinn?1x和In?2 提示我们如何在被积函数的表达式
中变出
cosxsinn?1x2 和
1sinn?2x 呢？这里涉及到三角函数中1的变形应用，初等数学中有过专门的
介绍，这里1可变为sinx?cosx。
2证明：?1=sin2x?cos2x ?In??????sin2ndxnx??sinx?cosxsinxn22dx??sincosxn2xdx??sinsinxn2xdx??sincosxn2xdx??sin1n?2xdx?sinncosxxdx?In?2??sincosxnxdsinx?In?2nn?1cosxsinxcosxsinsinn-1sinx??sinx??In?2?n??sinx?sinx?nsinsin2n2nxcosx2xn?1dx?In?21?sinxsinxn2cosxsinxxxdx?In?2?cosxsinsinxxcosxn?1?In?2?n?dx?In?2cosxn?1?In?2?nIn?nIn?2?In?2??cosxn?1?nIn?(n?2)In?2?In??1n?1sinx?n?2n?1In?2.★★★★6、设
f(x)为单调连续函数，f(x)为其反函数，且?f(x)dx?F(x)?C ，
-1求：
?f(x)dx。
?1知识点：本题考察了一对互为反函数的函数间的关系，还有就是分部积分法的练习。 思路分析：要明白x?f(f解：??1(x))这一恒等式，在分部积分过程中适时替换。
-1?f(x)dx=xf(x)-?xd(f(x))
-1-1 26
又?x?f(f?1(x))
?1??f又??1(x)dx?f(x)??xd(f?1(x))?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))
?f(x)dx?F(x)?C
?1??f(x)dx?f?1(x)??f(f?1(x))d(f?1(x))?f?1(x)?F(f?1(x))?C.
习题4-4
1、 求下列不定积分
知识点：有理函数积分法的练习。
思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，
通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后再具体问题具体分析。
★(1)
?x?3dx
x3x3思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。 解：??x?27?27x?323x?33?x?3x?9?227x?32
??x?3?133xdx?32?(x?3x?9?227x?3)dx??(x?3x?9)dx??x?3dx27
x?x?9x?27lnx?3?C.★★★(2)
?x?x?8x?x354dx
思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。 解：?3x?x?8x?x354?(x?x)?(x?x)?(x?x)?x?x?8x?x3534232?x?x?1?2x?x?8x?x32,
而x?x?x(x?1)(x?1),
令
x?x?8x?x32?Ax?Bx?1?Cx?1，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：
?A?B?C?1?A?8???C?B?1解此方程组得：?B??4 ??C??3A?8?? 27
??x?x?8x?x54354?x?x?1?dx?228x?4x?18x??3x?14x?1?3x?1)dx
??x?x?8x?x13x?33?(x?x?1?123x?x?8lnx?4lnx?1?3lnx?1?C3?1dx
2★★★(3)
?x思路：将被积函数裂项后分项积分。
32解：?x?1?(x?1)(x?x?1)，令
3x?13?Ax?1?Bx?Cx?x?12等式右边通分后比较两边分子
x的同次项的系数得：
?A+B=0?A?1???B+C-A=0解此方程组得：?B??1 ?A+C=3?C?2??1?3x?13?1x?1??x?2x?x?12?1x?1?2(2x?1)?12)?(2323)2 (x?21?1x?1?2(2x?1)12)?2(x?34?32(x?1121)?(232)2??3x?13dx??x?111dx??2(2x?1)12)?2(x?34dx?3?21(x?12)?(232dx)2?lnx?1??21(x?12)?234d((x?12)?234)?3?(1x?12)2?13x?d(1
2)322?lnx?1?12ln(x?x?1)?23arctan(2x?13)?C.★★
(4)?x?1(x?1)3dx
思路：将被积函数裂项后分项积分。
28
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