河北省邯郸大名县第一中学2019届高考数学模拟试题 文
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A．
B．
，则C．
（ ）
D．
2．已知为虚数单位，A．第四象限
，则在复平面上复数对应的点位于（ ）
C．第二象限
D．第一象限
B．第三象限
3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如右表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的女学生人数为
A．24 4．已知双曲线A．2
B．16
和椭圆
B．3
C．12 D．8
的最小值为（ ）
有相同的焦点，则C．4
D．5
5．圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为A． 6．已知A．-16 7．已知菱形A．3 8．设当
- 1 -
的扇形，则圆锥的表面积为（ ）
D．
（ ）
D．2 的中点，则
（ ）
B．
是函数
B．16 的边长为2，B．1
时，函数
C．
的极小值点，则
C．-2
，点，分别为，C．
D． （ ）
取得最大值，则
A． B． 中，
，
C．
，
D．
，若沿点，
9．如图，在矩形，点，分别在平面
上，且
连线折成如图所示的多面体，使，则该多面体的正视图的面积为（ ）
A． B．
中，
C． ，
，点
D． 分别是
，
，
的中
10．如图，长方体点，则异面直线
与所成的角是
A． B． C． D．
11．如图，点
，
在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，若
则
的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数
- 2 -
，若方程有3个不同的实根，则实数的取值范围
为（ ） A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数
.若
，则
__________．
B．
C．
D．
14．若实数，满足约束条件__________． 15．过原点作圆16．在围是__．
，设的最大值与最小值分别为，，则
的两条切线，则两条切线所成的锐角是_________.
，
，则
的取值范
中，角、、所对的边分别边、、，若
三、解答题：共70分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．在数列
中，
，且是等差数列；
（1）证明：数列（2）求数列18．在三棱锥点．
的前n项和。 中，平面
平面
，
，
．设D，E分别为PA，AC中
- 3 -
（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：
平面PBC； 平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由． 19．为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：
服务时间 超过1小时 20 12 8 m 服务时间 不超过1小时 男 女 （Ⅰ）求
；
（Ⅱ）将表格补充完整，并判断能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
服务时间 超过1小时 20 8 服务时间 不超过1小时 合计 男 - 4 -
女 合计 12 m （Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数. 附：
20．已知为抛物线：轴垂直时，
．
的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与
（1）求抛物线的方程； （2）设直线
的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，
，的斜率成等差数列，求点的坐标． 21．已知函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）若对于
的图象在点
的极值；
，
，求实数的取值范围. 处的切线与直线
平行.
（二）选考题：共10分。请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），.
以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （I）写出曲线与圆的极坐标方程； （II）在极坐标系中，已知射线
- 5 -
分别与曲线及圆相交于，当时，求
的最大值.
23．[选修4-5：不等式选讲] （10分） 已知函数(Ⅰ)当(Ⅱ)若函数
，，求不等式满足
.
的解集； ，且
恒成立，求的取值范围.
- 6 -
参考答案
1．A 【解析】 【分析】
解一元二次不等式求得集合，解不等式求得集合，然后求两个集合的交集. 【详解】 由
，解得
；由
，解得
，故
.故选A.
【点睛】
本小题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则化简z，再利用复数的几何意义即可得出结论． 【详解】 由题知
位于第四象限， 故选A. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题． 3．D 【解析】 【分析】
根据题意现算出二年级女生的人数，得到三年级女生的人数，再利用分层抽样的方法抽取，即可得到答案. 【详解】
由题意，抽到二年级女生的概率是0.19，所以二年级的女生人数为
- 7 -
，则在复平面上复数对应的点为（1，-2），
人，
所以三年级女生的人数为人，
人，
现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，在三年级抽取的女学生人数为故选D. 【点睛】
本题主要考查了简单的随机抽样与分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】 由题意可得【详解】 ∵双曲线∴∴当且仅当∴
，即
时，等号成立，
和椭圆
有相同的焦点，
，利用“乘1”与均值不等式可得结果.
的最小值为3
故选：B 【点睛】
本题考查了圆锥曲线的简单几何性质，考查了均值不等式的应用，考查了转化能力与计算能力，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】
由于题意可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求得底面的半径r，求出底面圆的面积，即可求解表面积．
- 8 -
【详解】
∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形 ∴圆锥的母线长为l＝3，底面周长即扇形的弧长为
3＝2π，
∴底面圆的半径r＝1，可得底面圆的面积为π×r2＝π， 圆锥的表面积为：故选C． 【点睛】
本题考查弧长公式及旋转体的表面积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力． 6．D 【解析】 【分析】
可求导数得到f′（x）＝3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值． 【详解】
∵f（x）＝3x2﹣12；
∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0； ∴x＝2是f（x）的极小值点； 又a为f（x）的极小值点； ∴a＝2． 故选：D． 【点睛】
本题考查函数极小值点的定义，考查了根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，属于基础题． 7．D 【解析】
- 9 -
4π．
【分析】
先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把积计算。 【详解】
点为的中点 所以点F为CD的中点，所以
=
的边长为2,所以
＝
=【点睛】
本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质。 8．D 【解析】 【分析】
先化简已知得f(x)=的值. 【详解】 由题得f(x)=其中当所以故选：D
- 10 -
表示出来，然后进行数量
;
,
=因为菱形
,又因为
，运用数量积公式，可求＝
＝
故本题选D。
，再利用三角函数的图像和性质分析函数的最值和此时
,
，即时，函数取到最大值. .
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．A 【解析】 【分析】 由图及条件可证【详解】 由题意，得所以
，
，
．故选A.
，由
平面
，得
，
，可得AB，由此可求正视图的面积.
∴所求多面体的的正视图的面积为【点睛】
本题考查了折叠体问题，考查了三视图的知识及空间线面、线线位置关系，属于基础题. 10．A 【解析】 【分析】
由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角． 【详解】
由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G， ∵A1E∥B1G，
∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角或其补角． 连接FB1，
在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1， B1F
- 11 -
B1GFG
B1F2＝B1G2+FG2． ∴∠FGB1＝90°，
， ，
即异面直线A1E与GF所成的角为90°． 故选：A． 【点睛】
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 11．A 【解析】 【分析】
直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合【详解】 半径r＝|OB|
1，
+
=1，即可解得
的值．
由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B的坐标为（，），|BC|∴
，
+
=1，
，
，
∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又∴解得sin故选A.
或
，又点位于第一象限，∴0<<，∴sin
- 12 -
【点睛】
本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题． 12．B 【解析】 【分析】 构造函数直线【详解】 令
和
，则函数
的图象过定点
．
与和
，则函数
的图象过定点
，画出函数
的图象，求出
相切时的值，然后结合图象可判断出所求的取值范围．
画出函数的图象，如下图所示．
由令又易知曲线
消去整理得，解得在
或
.
（舍去）.
处的切线的斜率为1．
结合图象可得：
- 13 -
当实根； 当根； 当
时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有3个不同的
时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有2个不同的实
时，和的图象有两个不同的交点，所以方程有1个实根或没
有实根； 当根．
综上可得所求的范围为故选B． 【点睛】
解答本题的关键有两个：一个是运用转化的思想方法，将方程根的个数的问题转化为两函数图象公共点个数的问题；二是运用数形结合的思想进行求解，以增强解题的直观性．解题时的注意点是确定两图象公共点个数变化时的临界位置． 13． 【解析】 【分析】 通过【详解】 因为所以
本题正确结果： 【点睛】
本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题.
求出，代入解析式求得结果.
．
时，
和
的图象有两个不同的交点，所以方程
有2个不同的实
- 14 -
14． 【解析】 【分析】
画出可行域，平移基准直线而求得的比值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，当直线时，取得最小值2，所以
.
过点
时，取得最大值7；过点
到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 15．
【解析】 【分析】
根据题意作出图像，由圆方程可得圆心
，解
- 15 -
，圆的半径为：，由圆的切线性质可知
，问题得解。
【详解】
根据题意作出图像如下：其中
是圆的切线，
为切点，为圆心，
则
可得：圆心
，又将
，圆的半径为：
平分，
，
由圆的方程在所以【点睛】
中，可得：
本题主要考查了圆的切线性质及圆的方程，考查计算能力，属于基础题。 16．
【解析】 【分析】
先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化求结果. 【详解】
，，
， 因此
- 16 -
为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质
，
，，又，
， 故答案为【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 17．(1)见解析；（2）【解析】 【分析】 （1）根据数列得到
通项公式的特征，我们对
，两边同时除以是等差数列； 的前项和。
，
.
，．
，
，利用等差数列的定义，就可以证明出数列
的通项公式，利用裂项相消法，求出数列
（2）求出数列【详解】 （1）
，又
所以数列
的两边同除以
，
，得
是首项为4，公差为2的等差数列。
，即，
,
(2)由（1）得故所以【点睛】
本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前和。 已知
- 17 -
，都是等差数列，那么数列的前和就可以用裂项相消法来求解。
18．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行． 【详解】
（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以又因为DE面PBC，PC?面PBC， 所以DE∥平面PBC．
（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA?平面PAC，
．
PA⊥AC，
所以PA⊥面ABC， 因为BC?平面ABC， 所以PA⊥BC．
又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A， 所以BC⊥面PAB． （Ⅲ）
当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行． 取AB中点F，连EF，连DF．
- 18 -
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因为点E是AC中点，点F为AB的中点， 所以EF∥BC．
又因为EF平面PBC，BC?平面PBC， 所以EF∥平面PBC． 又因为DE∩EF=E， 所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行． 【点睛】
本题考查线面平行，考查线面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理是关键． 19．（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）根据分层抽样比例列方程求出n的值，再计算m的值；（Ⅱ）根据题意完善2×2列联表，计算K2，对照临界值表得出结论；（Ⅲ）计算参加社区服务时间超过1小时的频率，用频率估计概率，计算所求的频数即可． 【详解】
（Ⅰ）由已知，该校有女生400人，故（Ⅱ）作出列联表如下： 男 女 超过1小时的人数 不超过1小时的人数 20 12 8 8 合计 28 20 ，得
， 从而
.
；（Ⅱ）没有95%把握；（Ⅲ）4人
- 19 -
合计 32 16 48 .
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关. （Ⅲ）根据以上数据，学生一周参加社区服务时间超过1小时的概率6名学生一周参加社区服务时间超过1小时的人数是4人. 【点睛】
本题考查列联表与独立性检验的应用问题，也考查了用频率估计概率的应用问题，是基础题． 20．(1) 【解析】 【分析】 （1）由题意可得立
消去，得
，即可求出抛物线的方程，（2）设直线，根据韦达定理结合直线，
的方程为
，联
(2)
，故估计这
，的斜率成等差数列，即
可求出点的坐标. 【详解】 解：（1）因为
，在抛物线方程
中，令，解得
．
，可得
．
于是当直线与轴垂直时，所以抛物线的方程为（2）因为抛物线设直线联立设若点
- 20 -
． 的准线方程为，
． ，
. ， ，所以
．
的方程为消去，得，
，则
满足条件，则
即，
，，
代入，解得
． ．
，
．
因为点，，均在抛物线上，所以代入化简可得将将于是点【点睛】
，
代入抛物线方程，可得
为满足题意的点．
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数列与解析几何的综合，考查直线的斜率，综合性强． 21．（Ⅰ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得a，求出f（x）的导数和单调区间，即可得到所求极值；
（Ⅱ）设x1＞x2，可得f（x1）﹣f（x2）＞mx12﹣mx22，设g（x）＝f（x）﹣mx2在（0，+∞）为增函数，设g（x）＝f（x）﹣mx2在（0，+∞）为增函数，求得g（x）的导数，再由参数分离和构造函数，求出最值，即可得到所求m的范围． 【详解】 （Ⅰ）可得
的导数为
的图象在点
，
，
在
处取得极大值为
，无极小值.（Ⅱ）
处的切线斜率为
，即时上递减，
，
由切线与直线
，
所以可得
在在
平行，可得
，当
，当时， ，
上递增，在处取得极大值为
，无极小值.
- 21 -
（Ⅱ）设即设即可得在所以【点睛】
在
，若 在
在
上增函数，
，可得，
上恒成立， 上恒成立，设
上递增，
，所以在
，
，
上递减，在.
处取得极小值为
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式恒成立问题解法，运用参数分离和构造函数是解题的关键，考查了转化思想，属于中档题． 22．（I）【解析】 【分析】
（I）将曲线的参数消去转化为普通方程，然后转化为极坐标方程.利用普通方程与极坐标方程的互化公式将圆的普通方程转化为直角坐标方程（.II）由于两个三角形的高相同，故将面积的比转化为得值. 【详解】
(Ⅰ)曲线的普通方程为
，即
(Ⅱ)因为由(Ⅰ)知，
- 22 -
,；（II）.
，将代入曲线和圆的极坐标方程，求得，，由此求的最大
的表达式，利用辅助角公式进行化简，并根据三角函数的值域，求得
，由普通方程与极坐标方程的互化公式的的极坐标方程为：. 曲线的极坐标方程为：
. ,
与以点为顶点时，它们的高相同，即
，所以
,
由因此 【点睛】
本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查普通方程转化为极坐标方程，考查三角形面积的比，考查极坐标系下长度的计算，属于中档题. 23．(Ⅰ)【解析】 【分析】 （I）当来.（II）根据问题，转化为【详解】 (Ⅰ)当等价于
， 或
，解得 ；
，
，
时，利用零点分段法去绝对值，将所求不等式转化为不等式组来求解出
求得
图像关于
对称，由此求得的值，将不等式恒成立
；(Ⅱ)
.
得
的最大值为
，所以当
.
即
时，
有最大值为
,
恒成立.利用分离常数法，结合基本不等式，求得的取值范围.
所以原不等式的解集为(Ⅱ)因为 所以函数 因为 令
，当
，
的图像关于直线
对称， , 恒成立，
恒成立，等价于时，
；
，可知
；
原不等式等价于当
时，
；
.
综上，的取值范围为 【点睛】
本小题主要考查利用零点分段法解绝对值不等式，考查利用分离常数法求解不等式恒成
- 23 -
立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
》好好学习》
- 24 -
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