复变函数
Complex variable functions
【课程编号】BJ25117 【学分数】3分 【学时数】60
【适用专业】数学与应用数学 一、教学目的、任务
复变函数论是数学专业的一门重要必修基础课，又是数学分析的后继课，通过本课程的学习，使学生了解和掌握复变函数的基本理论和基本方法，籍借该课程的系统性和严谨性，以锻炼学生思考问题和逻辑推理能力，提高应用知识解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求
使学生理解与掌握复变函数的基本概念、基本理论和方法，包括复数及复平面、复变函数的极限与连续性、复函数的积分理论、级数理论、留数理论及其应用、保形映射与解析延拓等。
三、教学内容和学时分配
第一章 复数与复变函数 6学时（课堂讲授学时） 主要内容：
1.1 复数及其代数运算 1.2 复数的几何表示 1.3 复变函数的极限与连续 1.4 复平面与复球面
教学要求：
熟练掌握复数的运算与几何表示；理解和掌握复变函数的极限与连续性关系；理解复平面与
复球面之间的球极投影关系。
其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：无。
【课程类别】专业基础课 【编写日期】2010.05.21
【先修课程】数学分析、解析几何
第二章 解析函数 8学时（课堂讲授学时） 2.1 解析函数的概念与柯西—黎曼条件 2.2 初等解析函数 2.3 初等多值函数 教学要求：
理解复变函数的导数和解析函数的基本概念；掌握函数解析的充分、必要和充要条件；了解初等解析函数的概念、运算和变换性质，掌握常见多值初等函数其单值解析分支的分析方法。
其它教学环节：无
第三章 复变函数的积分 10学时（课堂讲授学时） 主要内容：
3.1 复变函数积分的定义、简单性质与计算 3.2不定积分、柯西积分定理及其推广 3.3柯西积分公式及其推论
3.4 解析函数与调和函数的关系及其应用简介
教学要求：
理解复变函数积分的概念及其基本性质，了解柯西积分定理及其推广等定理；掌握复变函数积分的一般计算方法与柯西积分公式；理解和掌握解析函数的无穷可微性、柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理和柯西型积分等，了解解析函数和调和函数的关系以及它们在平面向量场方面的应用。
其它教学环节：无
第四章 解析函数的幂级数表示法 8学时（课堂讲授学时） 主要内容：
4.1 复级数的基本概念和性质、幂级数、解析函数的泰勒展示 4.2 解析函数零点的孤立性和唯一性定理、最大模原理等 教学要求：
了解复变函数的幂级数敛散性（包括一致收敛）的概念及其基本性质；掌握幂级数的敛散性判别法；知道幂级数的和函数的解析性；了解解析函数的泰勒定理和泰勒展开式；知道幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况；了解解析函数零点的孤立性及唯一性定理（包括最大模原理），掌握几个主要的初等函数的幂级数展开式；并能熟练地利用它们将一些解析函数展开成幂级数。
其它教学环节：无
第五章 解析函数的罗朗展示与孤立奇点 8学时（课堂讲授学时） 主要内容：
5.1解析函数的罗朗展示与孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质 5.2整函数与亚纯函数的概念
教学要求：
理解解析函数的罗朗展开式与孤立奇点的分类与判别方法；了解解析函数在无穷远点的性质和整函数与亚函数的理念；熟练将一些函数展开成罗朗级数的方法。
其它教学环节：无
第六章 残数理论及其应用 8学时（课堂讲授学时） 主要内容：
6.1 残数的定义与残数定理、残数的求法、函数在无穷远点的残数 6.2 用残数定理计算实积分、计算积分路径上有奇点的积分 6.3 幅角原理及其应用
教学要求：
理解残数的定义，掌握残数定理，能用残数定理计算复积分和一些实广义积分；理解和掌握幅角原理（包括儒歇定理）及其应用。
其它教学环节：无
第七章 保形变换 6学时（课堂讲授学时） 主要内容：
7.1解析变换的特性、分式线性变换 7.2某些初等函数所构成的保形变换 教学要求：
深刻理解和掌握理解保形变换的概念，掌握分式线性变换的性质；掌握幂级数与根式函数，指数函数与对数函数所构成的保形变换性质。
其它教学环节：无
第八章 解析开拓 6学时（课堂讲授学时） 主要内容：
8.1 解析开拓的概念与幂级数开拓 8.2 透弧解析开拓 8.3 对称原理 教学要求：
理解和掌握解析开拓的概念与幂级数开拓，透弧解析开拓和对称原理。 其它教学环节：无
四、教学重点、难点及教学方法
教学重点：复变函数的解析性、解析函数的级数表示、复变函数的积分与解析函数的保形变换。
教学难点：初等多值函数、复函数的有关解析性理论、解析函数的罗朗展示、残数定理的应用与分式线性变换。
五、考核方式及成绩评定方式：
闭卷考试；成绩评定方式：平时30%， 期末考试70%
六、教材及参考书目 1、推荐教材：
钟玉泉编，复变函数论，北京：高等教育出版社，2006年10月。 2、参考书：
[1] 乔治·波利亚，戈登·拉达著, 复变函数(美)，北京：高等教育出版社，2000年4月。 [2] 陈宗煊，孙道椿，刘名生， 复变函数，北京：高等教育出版社，2010年2月。
修（制）订人： 蓝师义 审核人：刘晓冀
2010年 12 月 7 日
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