高一，培优，函数的单调性和奇偶性

函数的奇偶性 （注意：函数的奇偶性是函数的整体性质）

一般地，对于函数f?x?的定义域内的任意一个x，都有f??x??f?x?，那么f?x?叫做偶函数。 一般地，对于函数f?x?的定义域内的任意一个x，都有f??x???f?x?，那么f?x?叫做奇函数。 注：①如果奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0；②偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；③奇函数与偶函数的定义域一定关于原点对称.

函数奇偶性判定方法： （A）定义法

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②求出f??x?，与f?x?进行比较；

③作结论：若f??x??f?x?，则f?x?是偶函数；若f??x???f?x?，则f?x?是奇函数．否则非奇非偶。

（B）借助函数的图象判定

（C）多个函数加减的奇偶性

f(x) 奇 偶 奇 偶

g(x) 奇 偶 偶 奇 f(x)?g(x) 奇 偶 非奇非偶 非奇非偶 （D）多个函数乘除的奇偶性“同偶异奇”

f(x) g(x) f(x)?g(x)或偶 偶 奇 奇 f(x)（g(x)?0） g(x)奇 偶 奇 偶

奇 偶 偶 奇 任何一个函数定义域关于原点对称的函数，总可以拆分成一个奇函数与一个偶函数的和。

f?x??f??x?f?x??f??x?f?x??f??x??，则F?x??为偶函数；

222f?x??f??x? G?x??为奇函数。

2例：f?x??

例1. 判断下列函数的奇偶性.

1?x2（1）f?x??1?x?1?x； （2）f?x??1?x?x?1； （3）f(x)?

x?2?222

变式：判断下列各函数的奇偶性：

（1）f?x???x?2??x?2x??11?xx?2?x?1； （3）f?x??ln； （2）f?x???0

1?xx?2??x?2x?1?

变式：设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)?f(x)?f(?x)在R上一定是（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。

2例2.已知函数f(x)，当x?0时，f?x??x?2x?1?x?3，根据条件写出f(x)的完整表达式.

①若f(x)为R上的偶函数； ②若f(x)为R上的奇函数。

变式：已知函数y?f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f的表达式.

变式:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x?(??,0)时，f(x)?x?x4，试求函数y?f(x)的表达式.

例3. 已知函数f?x??ax?bx?3a?b为偶函数，其定义域为?a?1,2a?，求a,b的值。

2(x)?2x，试求函数y?f(x)