电磁学答案第1章

第一部分 习题 第一章 静电场基本规律

1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距5?10?2米时，相互排斥力为1.6牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少？两点电荷的电量各为多少？

解：设两点电荷中一个所带电量为q，则另一个为4q：

?F1r22q1q2? 得：　r（1） 根据库仑定律：F?K?2 r2F2r12F1r121.60?（5?10?2） F2?2??0.（牛顿）4?12r2（10）4q2(2) F2?K2

r1F1r1221.60?52?10?42（）??（） ∴ q??4K4?9?10911 =±3.3×10?7 （库仑） 4q=±1.33×10?8 （库仑）

1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大？

解： 设其中一个所带电量为q，则一个所带电量为

Q-q。

根据库仑定律知，相互作用力的大小：

q(Q?q) F?K2r 求 F对q的极值 使F??0

K 即：(Q?2q)?0

r1∴ q?Q。

2

1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q和q，相距L，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零？

解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。

图 1．2．3

即：

14??0

2q0qq0q1 = 224??0(L?x)x21? 即：x2?2xL?L2?0 22(L?x)x 解此方程得：

x?(?1?2)L(X是到q0的q距离) （1） 当x?(2?1)L时，x?0为所求答案。 （2） 当x?(?2?1)L时，x?0不合题意，舍去。

1．2．4在直角坐标系中，在（0，0.1），（0，-0.1）的两个位置上分别放有电量为q?10?10（库）的点电荷，在（0.2，0）的位置上放有一电量为Q?10?8（库）的点电荷，求Q所受力的大小和方向？（坐标的单位是米）

解：根据库仑定律知：

?qQ?1 F?K12　rr1 ?Kq1Qr21??sin?1?　(cos?1ij)

????0.2i?0.1j?? ?11??222222?(0.1?0.2)??(0.1?0.2)? ?9?10?10?100.12?0.229?10?8??8.0?10?8?j =1.61?10?7i 如图所示，其中 cos?1?x1(x12?y12)12

sin?1?y1(x12?y)1221

?qQ??sin?2??(cos?2ij) 同理：F2?K12　r2????9?109?10?10?10?80.2i?0.1j?? ??×11??0.12?0.22222222?(0.1?0.2)??(0.1?0.2)???8.0?10?8?j =1.61?10?7i????(牛顿) F?F1?F2?3.22?10?7i

1．2．5在正方形的顶点上各放一电量相等的同性点电荷q。 （1）证明放在正方形中心的任意电量的点电荷所受的力为零；

（2）若在中心放一点电荷Q，使顶点上每个电荷受到的合力恰为零，求Q与q的关系。

证：

（1） 如图（a）,设正方形每边长为a,中心所放的点电荷的电量Q。由库

仑定律及迭加原理得： ?????F合?FBO?FDO?FAO?FCO

?r??DOr?AOr?CO?r =kQq ?BO ???2222??rBOrDOrAOrCO? ?2kQq?BO?r?DO?r?AO?r?CO)?0 (r2a2a 2 其中：rBO?rAO?rCO?rDO??BO??r?DO,r?AO??r?CO r在证明过程中可看出：放在正方形中心的点电荷不论其电量为何值，

它所受的力均为零。

（2） 讨论B点的电荷所受的力：

???? 设A，O，C，D点的点电荷对B点的电荷q的作用力分别为：FA,FO,FC,FD

?Kq2?Kq2?A FC?2　r?C 如图所示：FA?2　raa?Kq2Kq200???C) 　r?(cos45r?sin45r FD?DA222a2a =?2Kq2?A?r?C) (r4a22KQq?A?r?C) (r2a?2KQq2?O?FO?　r2a?????使F?FA?FO?FC?FD

?Kq22Kq22KQq???(r?A?r?C)= 0 ??　??22?a2?4aa???Kq22Kq22KQq???0 即使：?　??22?a2?4aa???12???q ∴ Q=-????42?

1．2．6两电量相等的同性点电荷，在其联线的中垂面上放一点电荷，根据对称性可知，该点电荷在中垂面上受力的极大值的轨迹是一个圆，求该圆的半径。

解： 如图（a），设x轴上有两个点电荷，其电量均为q, 坐标分别

为（-a,o,o）、

(a,o,o); 中垂面yoz平面上有一点点电荷Q，坐标为（o,y,z）

?? j?zk 设r?y? r2?y2?z2 即在中垂面内Q到坐标原点的距离。

?如图（b），根据对称性点电荷Q所受的合力方向与r方向一致，

设（q与Q同号）

?kQq2kQqr?? ∴F?22　sin?r)?r2322r?a(r?a)2求F对r的极值：

??2kQqr???3r21???2kQq??? = 0 ?353222222??(r2?a2)2??(r?a)???(r?a)? 即：?3r2?(r2?a2)?0

a2 ∴ r?

22a2 即： y?z? 是一个圆的方程。 圆心 (o,o,o) ,半径为

222