专题10 多变量的不等式恒成立与存在性问题
含参数不等式的恒成立或有解问题，是高考的热点.它往往与函数、数列、三角函数、解析几何综合考查.解决这类问题，主要是运用分离变量法,等价转化为求具体函数的最值；运用数形结合法，等价转化为临界点；运用分类讨论法，等价转化为研究含参函数的最值.
类型一 分类讨论差函数最值
典例1. 若不等式?x?1?1n?x?1??ax?2ax在?0，+??上恒成立，则a的取值范围是________.
2【答案】?,???
【解析】由题可设f?x???x?1?1n?x?1??ax?2ax则问题转化为f?x??0在?0，+??上恒成立，
2?1?2??则f（'x）?ln（x?1）?2ax?2a?1，x??1
（ⅰ） 当a?0时，f（ 则f?x?在?0，'x）?ln（x?1）?1?2（ax?1）＞0，+??上单调递增，所以
（fx）＞（f0）?0 在?0，+??上恒成立，与已知不符，
故a?0不符合题意．
（ⅱ）当a＞0时，令?（x）?f（'x），?'?x?＝且
1 ?2a，x?11??0，，1? x?111时， ?'?x?＝ ?2a?0，2x?1 即a?2a?1，于是?在x? 上单调递减， （x）（0，??）所以? 即f（上成立． （x）＜（?0）?1?2a?0，'x）＜0 在x?（0，??）则f?x?在x?上单调递减， （0，??）故（fx）＜（f0）?0在?0，+??上成立，符合题意．
??1???2a?x???1??111??2a??，?2a＝ 0＜2a＜1，即0＜a＜ 时， ?1＞0，?'?x?＝22ax?1x?1
若x??0，?1?， 则?（ 在x??0，?1?上单调递增； 'x）＞0，（?x）若在x????12a????12a???1??1? 则?（在x???1，???，?1，???上单调递减， 'x）＜0，（?x）?2a??2a???12a????12a??又? 则?（0）?1?2a＞0，（x）＞0在x??0，?1?上成立，即f（'x）＞0 在x??0，?1?上恒成立，所以f?x?在x??0，?1?上单调递增，则（fx）＞（f0）?0在x??0，?1?上恒成立．与已知不符，故0＜a＜不符合题意．综上所述， a的取值范围?,???. 即答案为?,???.
【名师指点】f(x)?g(x)恒成立等价与f(x)?g(x)?0恒成立，记G(x)?f(x)?g(x)，则
??12a????12a??12?1?2???1?2??G(x)max?0，本题中由于G(x)有参数，需要分类讨论，利用导数求最值．
2x3【举一反三】已知函数f(x)?x(e?1)?ax若当x?0时，f(x)?0恒成立，则a的取值范围______．
【答案】[?1,??)
类型二 参变分离求具体函数最值
2AsinC?典例2 若不等式ksinB?sin19sinBsinC对任意?ABC都成立，则实数k的最小值为
________． 【答案】100
【解析】由正弦定理得kb?ac?19bc?k??2?19bc?ac?? 2b??max219bc?ac?19b?a?c?19b?a??a?b??a??????9???100?100 222bbb?b?因此k?100 ，即k的最小值为100
【名师指点】本题通过不等式恒成立问题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．不等式恒成立时求参数的取值范围，常常采用分离参数法把不等式变形为如“g(a)?h(x)”形式，则只要求出
h(x)的最大值M，然后解g(a)?M即可．
【举一反三】若不等式x?2y?cx?y?x?对任意满足x?y?0的实数x， y恒成立，则实数c的
22最大值为__________． 【答案】22?4
【解析】∵不等式x?2y?cx(y?x)对任意满足x>y>0的实数x、y恒成立，
2
2
?x??y?2?222xx?2y??∴c?，令=t>1， ?2yxy?x2x?x????y?y?t?2?2t?2?2t2?2t2?4t?2?f?t?， f'?t???∴c?， 2222t?t2t?tt?t????????当t?2?2时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增; 当1?t?2?2时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。 ∴当t?2?2时,f(t)取得最小值, f2?2?22?4. ∴实数c的最大值为22?4.
类型三 数形结合求临界点
??g?x1?f?x2?x2?1x,g?x??x,对任意x1,x2??0,???,不等式?典例3 设函数f?x??恒成立，则xekk?1正数k的取值范围是__________． 【答案】k?1 2e?1【解析】对任意x1,x2??0,???，不等式
g?x1?k?f?x2?k?1恒成立，则等价为
g?x1?f?x2??k恒成立， k?1x2?1111f?x???x??2x??2，当且仅当x?，即x?1时取等号，即f?x?的最小值是2，
xxxxex?xex1?xx?x，由g'?x??0得0?x?1，此时函数g?x?为增函数，由由g?x??x，则g'?x??2xee?e?g'?x??0得x?1，此时函数g?x?为减函数，即当x?1时， g?x?取得极大值同时也是最大值
1g?x1?1k11的最大值为e?，则由，得2ek?k?1，即k?2e?1??1，则g?1??，则?ek?12ef?x2?22ek?11，故答案为k?. 2e?12e?1【名师指点】f(x)?g(x)等价于在公共定义域区间内，函数y?f(x)的图像落在y?g(x)的下方，这样在平面直角坐标系中画出相应函数的图像，根据图像上下关系，确定参数取值范围． 【举一反三】已知函数f(x)?【答案】[?2,0]. 【解析】
,若|
|≥
,则的取值范围是__________.
2x?y1.对任意的实数x，都存在两个不同的实数y，使得e范围为__________. 【答案】?0，? 【解析】因为e2x?y?y?x??ae2y?x?0成立，则实数a的取值
??1?3e??y?x??ae2y?x?0，所以a?e3x?3y?y?x?，令t?y?x ，则a?t e3ta??1?t?0?t?1 e3t??1??1??a?0,a? ；当时t?1?0,3? 3?e??e?1?? e3?当t?1时a??0,a????,因此要有两个y，需a??0,??2.定义在R上的函数f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且f(x－2)是偶函数，若对一切实数x，不等式
f(2sinx－2)>f(sinx－1－m)恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】???,?2???4,???
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