矩形、菱形、正方形
一、
导入 老先生与服务生
老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？ 朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?”
大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快乐的。
二、 知识点回顾
矩形、菱形、正方形
1.性质：
（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所
有性质．
（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对
角线平分一组对角． 2．判定：
（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平
行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的
平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．
（3）正方形：①有一个角是直角的菱形是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
3.面积计算：（1）矩形：S=长3宽； （2）菱形：S?1l1?l2（l1、l2是对角线） （3）正方形：S=边长2 2三、 专题讲解
考点一、特殊平行四边形的性质 【例１】如图,矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE∶BE=1∶3，OF=4，求∠ADB的度数和BD
的长 .解：由矩形的性质可知OD=OC. 又由OE∶BE=1∶3可知E是OD的中点. 又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC=CD,即OC=CD=OD，即△OCD是等边三角形,故∠CDB=60°. 所以∠ADB=30°. 又由矩形是轴对称图形得CD=2OF=8,
即BD=2OD=2CD=16.
把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM为折痕,折叠后的C点落在B′M或B′M长线上,那么∠EMF的度数是( )
A.85° B.90° C.95° D.100° 解析：∠EMF=∠EMB′+∠FMB′=
的延
111∠BMC′+∠CMC′=×180°=90°答案:B 222
考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形 【例 ２】如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE
的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.
答案:证明：∵∠ACB=90°，DE是BC的中垂线，∴E为AB边的中点.∴CE=AE=BE. ∵∠BAC=60°，∴△ACE为正三角形.
在△AEF中，∠AEF=∠DEB=∠BAC=60°，而AF=CE， 又CE=AE, ∴AE=AF. ∴△AEF也为正三角形. ∴∠CAE=∠AEF=60°. ∴ACEF.
∴四边形ACEF为平行四边形. 又CE=AC， ∴平行四边形ACEF为菱形.
如图，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 解（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD． ∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=
11AB，CF=CD．∴AE=CF．∴△ADE≌△CBF． 22（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC． ∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形． ∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．
∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°， ∴四边形AGBD是矩形．
考点三、作辅助线构造特殊平行四边 【例3】如图E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分别为F,G.
求证：PF+PG=AB
如图，点M是矩形ABCD的边AD中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足分别为E、F，
（1）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，四边形PEMF变为正方形？为什么？
考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题 【例4】如图,在一张长12 cm、宽5 cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱
形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？ 解：（方案一）S菱形=S矩形-4S△AEH=12×5-4××6×=30（cm2）. （方案二）设BE=x，则CE=12-x, ∴AE=BE2?AB2?125225?x2.
119. 24因为四边形AECF是菱形，则AE2=CE2, ∴25+x2=(12-x)2. ∴x=∴S菱形=S矩形-2S△ABE=12×5-2××5×12119≈35.21(cm2). 24经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=33，BC=6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落
在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE=30°． （1）求BE、QF的长．（2）求四边形PEFH的面积．
【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理（1）BE=2，QF=1 （2）73 四、 巩固练习： （1）填空题
1．如图1，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为________． 2．（黄冈市）如图2,将边长为8cm的正方形ABCD的四边沿直线L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点A所经过的路线的长是________cm．
3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________
4．如图3，点E、F是菱形ABCD的边BC、CD上的点，请你添加一个条件（?不得另外添加辅助线和字母），使AE=AF，你添加的条件是________．
（2）填空题
6．（广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
7．A．对角线相等B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等
7．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD?的周长是（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．（江阴市）已知如图6，则不含阴影部分的矩形的个数是（ ）A．15 B．24 C．25 D．16 9．（潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30?°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积（ ）A．
1333 B． C．1- D．1- 2334
10．将一矩形纸片按如图8方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A?′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数（ ）A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能确定
（3）解答题
12．（泉州市）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE=DF． 求证：△ABE≌△CDF．
13．（沪州市）如图，在矩形ABCD中，点E是BC
上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．线段DF
与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明． 即DF=________．（写出一线段即可）
14．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC?分别相交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
五、 拓展训练
15．（河南省）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，?直线DE⊥BC于D，交
AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．
（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由； （2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？
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