假设当n=k时，成立 由（ 由 2得 即当n=k+1时，不等式 对一切而 已知： ＝ 又 1）、（）可知，不等式 时， 例 ，正整数都成立. 于是，当[0,1]，求证：（ 单调递增解析: ∴ 所以，50. 则 构造对偶式：令 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比 上的可积函大小数 保号性是指，定义在，则 . 例51.求证： . 解析: ，∵ ， ， ， ∴ ， . 利用定积分估计和式的时，上下界定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 例数 在区间 52. 求证： ， . 解析: 考虑函上的定积分. 如图，显然 -① 对 已知 .求证： . 解析:考虑函求和， . 例数（ 在区间53. 上的定积分. ∵ -② ∴ . 例 54. 2003 ） 年全国高考江苏卷）设及曲线.从 ： ， ，如图，已知 的横坐标为 轴，交 轴，直线（ 上的点上的点作直线平行于 直线于点 ，再从点作直线平行于交曲线20 × 20 于点 . 的横坐标构成数列 . （Ⅰ）试
求 与 的关系，并求 时，证明 ；的通项公式； （Ⅲ）当 时，证（Ⅱ）当明 . 解析: （过程略）. 证明（II）：由 知由 ，∵ ，∴ . ∵当 时， ， ∴ . 证明（Ⅲ）： 显然 ④ 知 . ∴ 恰表示阴影部分面积，∴ . 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如：③ ； ④ . 十二、部分放缩证: 解析: 例56. 设 ( ① ； ② ； 尾式放缩) 例55.求 解析: 又 求证： （只将其中一个缩）， 时 ， 于是变成，进行部分放 满足 ，当 例57.设数列有 ； 证明对所有 时解析: 用数学归纳 时成立即 ，法：当则当论 时显然成立，假设当 ，成立。 利用上述部分放缩的结 注：上述证明 用到来放缩通项，可得部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：论 ；证明 就直接使用了部分放缩的结 例58.求证: . ,如十三、三角不等式的放缩:(i)当 时, (ii)当 时,解析构造单位圆图所示: 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面20 × 20
积 所以可以得到 时, ,由 当 时 所以当 时 十有 (iii)当(ii)可知: 所以综上有 (i)四、使用加强命题法证明不等式对所证不等式的同一方向以是右侧其中 )进行加强.,(同侧加强 ,也可可以是左侧如要证明 ,只要证明 ,归纳完成. 例59.求证 :通过寻找分析对一切 ,都有 . 解析: 从而使用其他方法,当然本题还可以(数学如: 所以 . (ii)异侧加强 有些不等式,这时,,归纳法) (iii)双向加强往往是某个一般性命题的特殊情况不妨”返璞,从而顺归真”,通过双向加强还原其本来面目利解决原不等式要证明: . .其基本原理为: 欲证明 ,只 :满足: ,求证: 解又 ,所以 ,所以有 已知数列 满足: ,从而 例60.已知数列析: ,从而 ,所以有 ,所以所以求证又当 所以综上有解析: 引申: . 由上可知 ,又 ,所以时, ,所以综上有 . 同题引申: (2008年浙江)已知数列 , , , . 记 , .求证:当 高考试题时. (1) ; (2) ; ★(3) . 解析:(1) ,猜想 ,下面用数学 时, ,结论成立; (ii)假设当 归纳法证明: (i)当20 × 20
时, ,则(2)因为以 (3) 时, 从而 ,所以 所以综上有 ,故 则 , ,…, ,相加后可以得到: ,所以 ,所因为 ,从而 ,有 ,所以有 ,从而 ,所 所以综上有 . 例 61.(2008年陕西省高 (1)依题证明,:以 ,所以考试题)已知数列的首项 , , ．: . 解析:(1) 对任意的 , , ; (2)证明得到 ,要证 , , , 即证容易即证 ,设所以即证明 从而 ,即 ,这是显然成立的. 所以综上有对任意的 , , (法二知，对任意的则 ． ) , 原不等式成立． ． 取 ， (2)由(1)，有原不等式成立．十四、经典题目方)已知函数 .: . 证法探究若明(设 :探究1.(2008年福建省高考 在区间首先:)上的最小值为 , 令 .求证可以得到 .先证明 (方法一) 所以 因为 ,相乘得: ,从而A 当设 时,左边= ,右边= 显然不等式成立; (ii)假 时, , 所以要证明 ,只要证明 , 时,不等式也成立)设函, 时, ,则这是成立的. 这就是说当所以,综上有 探究2.(2008年全国二卷 ，都有 ，求 数 .如果对任何围．以 解析当 :的取值范因为 ,所以,设 ,则 , 因为 ,所 时, 恒 (i)时, 恒成立 ,即 ,所以当 时, 成立. (ii)当(iii)当在 时时, ,因此当令 .，则故当 不符合题意. 时, . 因此 故当时上单调增加 , , 即 .于是，当 变式：时，所以综上有 且 , ,的取值范围是: . 若 ,其中求证 证明：容易得到 由上面那个题目知道变:(2006年全国一卷x∈(0,1) 恒有)就可以知道 ★同型衍已知函数 .若对任意 求 a的取值范围. 解析: f (x) >1, 函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为 . (??) 当0< a≤2时, f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求. (??) 当a>2时, f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 20 × 20
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