第 3 讲 导数的简单应用
[全国卷 3 年考情分析 ] 年份
全国卷Ⅰ 求切线方程 ·T13 利用导数研究函数
全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ
已知切线方程求参数 ·T6
利用导数讨论函数的单 调性及公切线问题 ·T20
的极值点 ·T20 奇函数的定义及利 用导数的几何意义 求切线方程 ·T5
求切线方程 ·T13
利用导数讨论函数 的单调性 ·T21(1) 利用导数讨论函数 的单调性· T 21(1)
2019
利用导数讨论函数的单调性及最 值问题 ·T20
利利用导数的几何意义
利用导数的几何意义求参数值 ·T14
2018
导数的运算、利用导数 求函数极值 ·T11
利用导数研究函数单调性求参 数·T21(1)
2017
(1) 高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现
在解答题第一问．
(2) 高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在
选择、填空的后几题中出现，难度中等；有时也出现在解答题第一问．
(3) 近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽 略．
考点一 导数的几何意义 [例 1]
(1)(2019 福·州市第一学期抽测 )曲线 f(x) ＝x＋ ln x 在点 (1，1)处的切线与坐标轴围 成的三角形的面积为 (
) 3 1 C.2
1 D. 4
A.2 B. 2 x
(2)(2019 全·国卷 Ⅲ )已知曲线 y＝ ae＋ xln x 在点 (1，ae)处的切线方程为
y＝ 2x＋ b，则
() A ． a＝ e， b＝－ 1
－
B. a＝e， b＝ 1
－
C．a＝ e 1， b＝ 1
D. a＝ e 1，b＝－ 1
的切线，又是曲线 C2
(3)(2019 成·都市第二次诊断性检测 )已知直线 l 既是曲线 C ：y＝ e ： 1 22l 在 x 轴上的截距为 () y＝ e x 的切线，则直线 4
1
x
A.2 C.e2
B.1 D. －e2
1． (2019 ·汉市调研测试武 在曲线
)设曲线
C： y＝3x4 － 2x3－9x2＋ 4，
C 上一点 M(1，－
4)处的切线记为 l，则切线 l 与曲线 C 的公共点个数为 () A ． 1
B ． 2 D ．4
C． 3
2． (2019 ·国卷全 Ⅰ )曲线 y＝ 3(x2＋ x)ex 在点 (0， 0)处的切线方程为
________． 3
3． (2019 ·州市综合检测广
f(x)＝ax－ x的图象在点 (1， f(1)) 处的切线过点
(一 ))若函数 (2， 4) ，则 a＝ ________．
考点二 利用导数研究函数的单调性
题型一 求函数的单调区间或判断函数的单调性
ax2＋ x
[例 2]
已知函数 f(x)＝ ln(x＋ 1)－ （x＋ 1） 2，且 1 题型二 [例 3] 已知函数的单调性求参数 已知函数 f(x)＝12x2 －2aln x＋ (a－ 2)x. (1)当 a＝－ 1 时，求函数 f( x)的单调区间； (2)是否存在实数 a，使函数 g(x)＝ f(x)－ ax 在 (0，＋∞ )上单调递增？若存在，求出 a 的 取值范围；若不存在，说明理由． 1．已知函数 f(x) ＝ex(ex－ a)－a2x，讨论 f(x)的单调性． x2． (2019 河·北省九校第二次联考 )已知函数 f( x)＝ e－ axln x. (1)当 a＝ 1 时，求曲线 y＝ f(x)在 x＝1 处的切线方程； a (2)证明： ? a∈ (0， e)，函数 f(x)在区间 ， 1 上单调递增．
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