【变式练习】
1.如图，平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），线段AB垂直于y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°，点B落在点C处，直线BC与x轴的交于点D．
（1）试求出点D的坐标；
（2）试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式，
并写出其顶点E的坐标；
（3）在（2）中所求抛物线的对称轴上找点F，使得
以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似．
y
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(图7)
B 1 A O 1 x
2．已知直线y?1x?1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
2将△AOB绕点O顺时针旋转90?，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y?ax2?bx?c过点A、D、C，其对称轴
与直线AB交于点P， （1）求抛物线的表达式； （2）求∠POC的正切值； （3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标。
3．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
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y 1 O 1 x
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．
①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为
，求点M的坐标．
题型五：构造梯形
【例6】已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为(0，?2)，直线y??2x与边BC相交于点D．
3（1）求点D的坐标； （2）抛物线y?ax的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M2?bx?c经过点A、D、O，求此抛物线
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为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式练习】
1.已知平面直角坐标系xOy中， 抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)． （1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．
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2.已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线 y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N． 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN． 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．
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