上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练：数列

上海市2020届高三数学一轮复习典型题专项训练

数列

一、选择、填空题

1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a2?a5?19，

S5?40，则a10?__________

2、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）如果数列

为递增数列，且

an?n2??n(n?N?)，则实数?的取值范围______

3、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d＞0，（S8－S5）（S9－S5）＜0，则（ ）

A. ｜a7｜＞｜a8｜ B. ｜a7｜＜｜a8｜ C. ｜a7｜＝｜a8｜ D. ｜a7｜＝0

4、（2019届崇明区高三二模）已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若对任意的k?N*，都有lim(Sn?Sk?1)?ak成立，则q?

n??5、（2019届黄浦区高三二模）若等比数列{an}的前n项和Sn?3?2n?a，则实数a? 6、（2019届闵行松江区高三二模）已知等比数列{an}的首项为1，公比为?项和，则limSn?

n??1，Sn表示{an}的前n27、（2019届青浦区高三二模）等差数列a1,a2,???,an（n?3，n?N*）满足

|a1|?|a2|?????|an|?|a1?1|?|a2?1|?????|an?1|?|a1?2|?|a2?2|?????|an?2|?2019，则（ ）

A. n的最大值为50 B. n的最小值为50 C. n的最大值为51 D. n的最小值为51

8、（2019届宝山区高三二模）已知无穷等比数列a1,a2,a3,…各项和为

9,且a2=?2,若2|Sn?9|?10?4,则n的最小值为_____. 29、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知有穷数列?an?共有m项，记数列?an?的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2),… …第n（1?n?m）项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1?n?m时，an?

10、（2019届徐汇区高三二模）设无穷等比数列{an}的公比为q，若{an}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是

11、（虹口区2018高三二模）已知数列?an?是公比为q的等比数列，且a2，a4，a3成等差数列，则q? _______．

12、（静安区2018高三二模）已知等比数列{an}的前n项和为Sn（n?N*），且

S619??，S38a4?a2??15，则a3的值为 813、（松江区2018高三上期末）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1?a9?18，a4?7，则S10? ．

14、（浦东新区2018高三二模）已知{an}是等比数列，它的前n项和为Sn，且a3?4，a4??8，则S5?

15、（金山区2019届高三一模）无穷等比数列{an}各项和S的值为2，公比q?0，则首项a1的取值范围是

16、（浦东新区2019届高三一模）已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn. 若S9?36，则

a3?a4?a8?

17、（普陀区2019届高三一模）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1）

18、（青浦区2019届高三一模）已知无穷等比数列{an}各项的和为4，则首项a1的取值范围是 19、（松江区2019届高三一模）已知等差数列{an}的前10项和为30，则a1?a4?a7?a10? 20、（长宁区2019届高三一模） 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an?an?1?敛于常数A，则首项a1取值的集合为 21、（闵行区2019届高三一模）等比数列{an}中，a1?a2?1，a5?a6?16，则a9?a10?

1，若数列{Sn}收n2二、解答题

1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5?a13?34，

S3?9．数列{bn}的前n项和为Tn，满足Tn?1?bn．

（1）求数列{an}的通项公式； （2）写出一个正整数m，使得

1是数列{bn}的项；

am?9an，问：是否存在正整数t和k（k?3），使得c1，c2，ckan?t（3）设数列{cn}的通项公式为cn?成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对(t,k)；若不存在，请说明理由．

2、（2019届嘉定长宁区高三二模）记无穷数列?an?的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令

bn?Mn?mn求 2(1)若an?2n?3n，写出b1，b2，b3，b4的值

2)设an?2n??n，若b3??3，求λ的值及n?4时数列?bn?的前n项和Sn； (3)求证:“数列?an?是等差数列”的充要条件是“数列?bn?是等差数列”

3、（2019届普陀区高三二模）已知无穷数列{an}的各项都不为零，其前n项和为Sn，且满足an?an+1

＝Sn（n∈N），数列{bn}满足bn?*

an，其中t为正整数． an?t（1）求a2018； （2）若不等式

对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；

（3）若首项a1是正整数，则数列{bn}中的任意一项是否总可以表示为数列{bn}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．

4、（2019届徐汇区高三二模）对于项数m（m?3）的有穷数列{an}，若存在项数为m?1，公差为d的等差数列{bn}，使得bk?ak?bk?1，其中k?1,2,???,m，则称数列{an}为“等差分割数列”.

（1）判断数列{an}:1,4,8,13是否为“等差分割数列”，并说明理由；

（2）若数列{an}的通项公式为an?2n（n?1,2,???,m），求证：当m?5时，数列{an}不是“等差分割数列”；

（3）已知数列{an}的通项公式为an?4n?3（n?1,2,???,m），且数列{an}为“等差分割数列”，若数列{bn}的首项b1?3，求数列{bn}的公差d的取值范围（用m表示）.

5、（宝山区2018高三上期末）设数列an，bn及函数f(x)（x?R），bn?f(an)（n?N?）．

????a2?3，f(x)?2x，求数列bnbn?1的前n（n?N?）项和；（1）若等比数列an满足a1?1，

（2）已知等差数列

?????an?满足a1?2，a2?4，f(x)??(qx?1)（?、且q?1），q均为常数，q?0，

cn?3?n?(b1?b2?L?bn)（n?N?）．试求实数对(?，q)，使得?cn?成等比数列．

6、（静安区2018高三二模）已知数列{an}中，a1?a(a?R,a??)，an?2an?1?1211?，nn(n?1)n?2，n?N*.

又数列{bn}满足：bn?an?1，n?N*. n?1（1）求证：数列{bn}是等比数列；

（2）若数列{an}是单调递增数列，求实数a的取值范围；

（3）若数列{bn}的各项皆为正数，cn?log1bn，设Tn是数列{cn}的前n和，问：是否存

2在整数a，使得数列{Tn}是单调递减数列？若存在，求出整数a；若不存在，请说明理由.

7、（金山区2018高三二模）已知数列{an}满足：a1=2，an+1=

(1) 证明：数列{an–4}是等比数列； (2) 求使不等式

1an+2． 2an?m2?成立的所有正整数m、n的值；

an?1?m3ak?1?t?2成立，求t的取值范围．

ak?t(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k，都有

8、（2019届浦东新区高三二模）已知各项均不为零的数列{an}满足a1?1，前n项的和为Sn，且

22Sn?Sn?1?2n2，n?N*，n?2，数列{bn}满足bn?an?an?1，n?N*. an（1）求a2、a3； （2）求S2019；

kk?1k*?n?Cn（3）已知等式kCn?1对1?k?n，k,n?N成立，请用该结论求有穷数列{bkCn}，

k?1,2,???,n的前n项和Tn.

9、（2019届青浦区高三二模）已知函数f(x)?x2?ax?b（a,b?R），且不等式

|f(x)|?2019|2x?x2|对任意的

x?[0,10]都成立，数列{an}是以7?a为首项，公差为1的等差数列（n?N*）.

（1）当x?[0,10]时，写出方程2x?x2?0的解，并写出数列{an}的通项公式（不必证明）； （2）若无穷数列{bn}满足|bn?m?bm?bn|?列{bn}是等差数列；

（3）若cn?an?an?1（n?N*），数列{cn}的前n项和为Sn，对任意的n?N*，求的取值范围.

10、（2019届杨浦区高三二模）已知数列{an}满足：a1?1，an?1?（1）若a1、m、a2成等差数列，求m的值； （2）若m?0，求数列{an}的通项an；

（3）若对任意正整数n，都有an?4，求m的最大值.

*11、（宝山区2019届高三一模）如果数列?an?对于任意n?N，都有an?2?an?d，其中d为常

1*对任意的m,n?N都成立，求证：数

am?anSn n212an?m，其中n?N*，m?R. 8*数，则称数列?an?是“间等差数列”，d为“间公差”．若数列?an?满足an?an?1?2n?35，n?N，

a1?a?a?R?．

（1）求证：数列?an?是“间等差数列”，并求间公差d；

（2）设Sn为数列?an?的前n项和，若Sn的最小值为?153，求实数a的取值范围； （3）类似地：非零数列?bn?对于任意n?N，都有．．

*bn?2?q，其中q为常数，则称数列?bn?是“间bnn?1?1?等比数列”，q为“间公比”。已知数列?cn?中，满足c1?k?k?0,k?Z?，cncn?1?2018????2?，

*n?N*，试问数列?cn?是否为“间等比数列”n?N，若是，求最大的整数使得对于任意，都有k．．．．．

cn?cn?1；若不是，说明理由．

12、（崇明区2019届高三一模）已知数列{an}、{bn}均为各项都不相等的数列，Sn为{an}的前n项和，

an?1bn?Sn?1（n?N*）.

（1）若a1?1，bn?n，求a4的值； 21}为等比数列； 1?q（2）若{an}是公比为q（q?1）的等比数列，求证：数列{bn?（3）若{an}的各项都不为零，{bn}是公差为d的等差数列，求证：a2、a3、???、an、??? 成等差数列的充要条件是d?

13、（杨浦区2019届高三一模）记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令

1

. 2

bn?Mn?mn，n?N*. 2n?，请写出b3的值； 2（1）若an?2n?cos（2）求证：“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等差数列”的充要条件；

（3）若对任意n，有|an|?2018，且|bn|?1，请问：是否存在K?N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有bn?1?bn成立？请说明理由.

14、（长宁区2019届高三一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1?1，a2?a. （1）若数列{an}是等差数列，且a8?15，求实数a的值；

（2）若数列{an}满足an?2?an?2（n?N?），且S19?19a10，求证：{an}是等差数列； （3）设数列{an}是等比数列，试探究当正实数a满足什么条件时，数列{an}具有如下性质M：对于任意的n?2（n?N?），都存在m?N?，使得(Sm?an)(Sm?an?1)?0，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a的集合.

15、（青浦区2019届高三一模）若存在常数k（k?N*，k?2）、c、d，使得无穷数列{an}满

足an?1?a?d??n???can??n?N*k，

n?N*k则称数列{an}为“?数列”，已知数列{bn}为“?数列”.

（1）若数列{bn}中，b1?1，k?3，d?4，c?0，试求b2019的值；

（2）若数列{bn}中，b1?2，k?4，d?2，c?1，记数列{bn}的前n项和为Sn，若不 等式S4n???3n对n?N*恒成立，求实数?的取值范围；

（3）若{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由.

16、（浦东新区2019届高三一模）已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点

A1,A2,A3,L,An（n?N*），

并在第一象限内的抛物线y2?3，使得△Ak?1BkAk x上依次取点B1,B2,B3,L,Bn（n?N*）

2（k?N*）都为等边三角形，其中A0为坐标原点，设第n个三角形的边长为f(n). （1）求f(1)，f(2)，并猜想f(n)；（不要求证明）

（2）令an?9f(n)?8，记tm为数列{an}中落在区间(9m,92m)内的项的个数，设数列{tm}

?的前m项和为Sm，试问是否存在实数?，使得2?Sm对任意m?N*恒成立？若存在，

求出?的取值范围；若不存在，说明理由； （3）已知数列{bn}满足：b1?21?cn?1222，bn?1?，数列{cn}满足： 1?1?bn22c1?1，cn?1?

cn，求证：bn?f(?2n?1)?cn.

17、（2019届黄埔区高三二模）已知以a1为首项的数列{an}满足：|an?1|?|an?1|（n?N*）. （1）当a1??时，且?1?an?0，写出a2、a3；

（2）若数列{|an|}（1?n?10，n?N*）是公差为?1的等差数列，求a1的取值范围； （3）记Sn为{an}的前n项和，当a1?0时，

① 给定常数m（m?4，m?N*），求Sm?1的最小值；

② 对于数列a1,a2,???,a8，当S8取到最小值时，是否唯一存在满足|aj?2|?|aj?1?1| （2?j?6，j?N*）的数列{an}？请说明理由.

参考答案： 一、选择、填空题 1、29 2、【答案】?＞－3 【解析】依题意，得：值，故?＞－3 3、B 4、8、【答案】10

，即

，当n＝1时取到最小

1325?1 5、－3 6、 7、A 239?a1?41?【解析】题意可得?1?q2?9q2?9q?4?0则q1?,q2??（舍去前者）a1?6则

33?a?aq??2?21?1nn))9991???4?43|Sn?|?10???10?g?10?4,得到n最小为10 ??1222?3?1?(?)319、?2n?1 10、(?2,0)U(0,]

46(1?(11、1或?19； 12、 13、100 14、11

4215、(2,4) 16、12

17、10.4 18、(0,4)U(4,8) 19、12 20、?

参考答案： 二、解答题

1、（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，有?解得a1?1，d?2，…………（3分）

*所以{an}的通项公式为an?2n?1（n?N）．…………（4分）

?1?? 21、256 3???2a1?16d?34 ，……（2分）

?3a1?3d?9（2）当n?1时，b1?T1?1?b1，所以b1?1．……（1分） 2由Tn?1?bn，得Tn?1?1?bn?1，两式相减，得bn?1?bn?bn?1， 故bn?1?1bn，……（2分） 2n11?1?所以，{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以bn???．……（3分）

22?2?111??，…………（4分）

am?92m?82(m?4)要使

1n是{bn}中的项，只要m?4?2即可，可取m?4．…………（6分）

am?9n*（只要写出一个m的值就给分，写出m?2?4，n?N，n?3也给分） （3）由（1）知，cn?2n?1，…………（1分）

2n?1?t要使c1，c2，ck成等差数列，必须2c2?c1?ck，即

612k?1，…………（2分） ??3?t1?t2k?1?t4化简得k?3?．…………（3分）

t?1因为k与t都是正整数，所以t只能取2，3，5．…………（4分）

当t?2时，k?7；当t?3时，k?5；当t?5时，k?4．…………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数t和k，所有符合条件的有序整数对(t,k)为：

(2,7)，(3,5)，(5,4)．…………（6分）

2、

3、解：（1）令n＝1时，a1a2＝S1， 由于：无穷数列{an}的各项都不为零， 所以：a2＝1， 由：an?an+1＝Sn，

所以：an+1?an+2＝Sn+1， 两式相减得：an+2﹣an＝1，

所以：数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列．

（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n﹣1}的首项a1，公差为1的等差数列．

得知：数列的各项都为正值． 设bn＝bmbk

故：数列{bn}中的任意一项总可以表示为数列{bn}中的其他两项之积． 4、

5、解：（1）由已知可得an?3（n?N），从而

?n?1（n?N），故bn?2?3?n?1（n?N），所以bnbn?1?4?3?2n?1?bnbn?1?是以12为首项，9为公比的等比数列，故数列?bnbn?1?的前n项和为

3n(9?1)（n?N?）． 2（2）依题意得an?2n（n?N*），所以bn??(q2n?1)（n?N*），故

cn?3??q21?q2?(??1)n??q21?q2q2n

??q2?0?3??2（n?N），令?，解得1?q???1?0?(?，q)?(?1，????13?q???0舍去），因此，存在（?32?q??233)，使得数列?cn?成等比数列，且cn?3?()n（n?N*）． 2411111111?2an?1????2an?1???? n?1nn(n?1)n?1nnn?1n?16、解：（1）an??2an?1?b21?2(an?1?) ……2分 即n?2 ……3分

bn?1nn又b1?a1?111?a?，由a??，则b1?0 222所以{bn}是以b1?a?1为首项，2为公比的等比数列． ……4分 2??1?n?11?2? ……6分 ?2?n?1（2）bn?(a?)?2n?1，所以an??a?12若{an}是单调递增数列，则对于n?N*，an?1?an?0恒成立 ……7分

1?11?1?? an?1?an??a???2n???a???2n?1?2?n?2?2?n?1?1?111?1?? ……8分 =?a???2n?1??=?a???2n?1?2?n?1n?2?2?(n?1)(n?2)?由?a?∵???111?n?11*a???，得对于恒成立， ?2??0n?N?n?12?(n?1)(n?2)22(n?1)(n?2)111??0lim[?]?0， 递增，且，n?1n?1n?1n??2(n?1)(n?2)2(n?1)(n?2)2(n?1)(n?2)111?0，又a??，则a??． ……10分 2221?0， 2所以a?（3）因为数列{bn}的各项皆为正数，所以a?则a??1n?111．cn?log1[(a?)2]??n?1?log2(a?)， ……13分

2222若数列{Tn}是单调递减数列，则T2?T1，即

11111?2log2(a?)?1??log2(a?),log2(a?)??1，即a??，

22222所以?1?a?0．不存在整数a，使得数列{Tn}是单调递减数列． ……16分 27、(1) 由an+1=

11an+2，所以an+1–4 =( an–4 )，………………………………………2分 221且a1–4=–2，故数列{an–4}是以–2为首项，为公比的等比数列；………………4分

2n?21?1?(2) 由(1)题，得an–4=–2()n?1，得an?4???2?2?n?2，…………………………………6分

n?2?1??1?4????m4????m2?2??2?于是，当m≥4时，??1，无解，………7分 n?1n?13?1??1?4????m4????m?2??2?因此，满足题意的解为?(3) 解：① 当k=1时，由

?m?1?m?2?m?3

或?或?；…………………………9分

?n?2?n?1?n?13?t?2，解得0

从而，只需ak+1–t<2(ak–t)对k≥2，k∈N*恒成立，即t<2ak–ak+1对k≥2，k∈N*恒成立，故t<(2ak–ak+1)min，…………………………………………………………………………13分

?1?又2ak?ak?1?4?3???2?k?1，故当k?2时，(2ak?ak?1)min?55，所以t?， 225)．………………………………………16分 28、答案：（1）a2?6，a3?4；（2）Sn?n(n?1)?(?1)n，S2019?4078379

综上所述，t的取值范围是(0,1)∪(2,

n（3）bn?4n?2，n?2，Tn?(2n?2)?2?n?2

解析：

9、（1）x?2，x?4，a??6，an?n；

10、

11、解：（1）由an?an?1?2n?35得an?1?an?2?2n?33，……………………2分 作差得an?2?an?2?d，………………………………………………………3分 即数列?an?是“间等差数列”，间公差d?2.…………………………………4分

（2）由（1）得?a2n?1?,?a2n?分别以a1?a,a2??a?33为首项，公差为2的等差数列，

??a2k?1?a1?2?k?1??2k?2?a因此，?

??a2k?a2?2?k?1??2k?35?a所以an???n?2k?1?n?a?1?????，，k?N*?，……………………………………6分 ??n?2k?n?35?a???，又an?an?1?2n?35，所以，

?33?2n?37nn2?35n??当n为偶数时，Sn??a1?a2???a3?a4??L?an?1?an??，

222当n?18时，Sn最小值为S18??153.……………………………7分

当n为奇数，Sn??a1?a2???a3?a4??L?an?2?an?1??an

?33?2n?39n?1n2?35n???n?a?1??a?17，…………8分

222当n?17时，Sn最小值为S17??136?a，因为Sn的最小值为?153， 因此只需?136?a??153?a??17. ………………………10分

?1?（3）由cncn?1?2018????2?作比得，

n?1得cn?1cn?2?1??2018???………………………11分

?2?ncn?21?，所以数列?cn?是“间等比数列”. ………………13分 cn2由

cn?2120181?得?c2n?1?,?c2n?分别以c1?k,c2?为首项，公比为的等比数列， cn2k2又cn?cn?1，所以c1?c2?c3?L，又因为c1?2c3?4c5?L,c2?2c4?4c6?L， 所以，由??k?02018k得k??，……………………………………16分

k2?c1?c2?c34036，

解得2018?k?即最大的整数．．．．．k?63． …………………………………………………………18分 12、解：（1）由a1?1,bn?n，知a2?4,a3?6,a4?8.………………………4分 2（2）因为an?1bn?Sn?1①， 所以当n?2时，anbn?1?Sn?1?1②， ①-②得，当n?2时，an?1bn?anbn?1?an③， 所以bn?ana11bn?1?n?bn?1?，………………………3分 an?1an?1qq所以bn?11?1???bn?1??，………………………5分 1?qq?1?q?1?0（否则?bn?为常数数列与题意不符）， 1?q又因为bn?所以{bn?1} 为等比数列。………………………6分 1?q（3）因为?bn?为公差为d的等差数列，所以由③得，当n?2时，an?1bn?an?bn?d??an, 即?an?1?an?bn??1?d?an，因为?an?，?bn?各项均不相等，所以an?1?an?0,1?d?0,

bnan?所以当n?2时，④, 1?dan?1?an当n?3时，

bn?1an?1?⑤, 1?dan?an?1anan?1bn?bn?1d???由④-⑤，得当n?3时⑥,………………………3分

an?1?anan?an?11?d1?d先证充分性：即由d?1证明a2,a3,K,an,K成等差数列, 2anan?11??1, 因为d?，由⑥得

an?1?anan?an?12anan?1?1?所以当n?3时，,

an?1?anan?an?1又an?0，所以an?1?an?an?an?1

即a2,a3,K,an,K成等差数列.………………………5分 再证必要性：即由a2,a3,K,an,K成等差数列证明d?1. 2因为a2,a3,K,an,K成等差数列，所以当n?3时，an?1?an?an?an?1,

anan?1anan?1d????1?所以由⑥得，

an?1?anan?an?1an?an?1an?an?11?d所以d?1，………………………7分 21.…………………8分 2所以a2,a3,K,an,K成等差数列的充要条件是d?13、解：(1)因为a1?2,a2?3,a3?8 ……2分 所以b3?2?8?5 ……4分 2(2) （必要性）当数列{an}是等差数列时，设其公差为d 当 d?0时， an?an?1?d?0，所以an?an?1，所以Mn当 d?0时， an?an?1?d?0，所以an?an?1，所以Mn 当 d?0时， an?an?1?d?0，所以an?an?1，所以Mn综上，总有 bn??an，mn?a1， ?a1，mn?an， ?a1，mn?an

an?a1 2所以 bn?bn?1?an?a1an?1?a1d??，所以数列{bn}是等差数列 ……6分 222（充分性） 当数列{bn}是等差数列时，设其公差为d* 因为bn?bn?1?Mn?mnMn?1?mn?1Mn?Mn?1mn?mn?1??+?d*， 2222根据Mn，mn的定义，有以下结论：

Mn?Mn?1，mn?mn?1，且两个不等式中至少有一个取等号

当d*?0时，则必有Mn?Mn?1，所以an?Mn?Mn?1?an?1， 所以{an}是一个单调递增数列，所以Mn所以bn?bn?1??an，mn?a1，

an?a1an?1?a1an?an?1???d* 222*所以an?an?1?2d，即{an}为等差数列

当d*?0时，则必有mn?mn?1，所以an?mn?mn?1?an?1 所以{an}是一个单调递减数列，所以Mn所以bn?bn?1??a1，mn?an，

a1?ana1?an?1an?an?1???d* 222*所以an?an?1?2d，即{an}为等差数列 当d*?0时，bn?bn?1?Mn?mnMn?1?mn?1Mn?Mn?1mn?mn?1????0 2222因为Mn?Mn?1，mn?mn?1中必有一个为0， 根据上式，一个为0，则另一个亦为0， 所以Mn?Mn?1,mn?mn?1, 所以{an}为常数数列，所以{an}为等差数列

综上，结论得证. ……9分

(3)存在 ……10分 假设不存在， 因为|bn|?1，即bn?1 或者bn??1，

*所以对任意K?N，一定存在i?K，使得bi,bi?1符号相反 ……12分

所以在数列{bn}中存在bk1,bk2,bk3,...,bki,bki?1....，其中k1?k2?k3...?ki?... 且 ?1?bk1?bk2?bk3?...?bki?bki?1....，

1?bk1?1?bk2?1?bk3?1?...?bki?1?bki?1?1...因为bki??1,bki?1?1，即

……14分

Mki?mki2??1,Mki?1?mki?12?1

注意到Mki?1?Mki,mki?1?mki，且有且仅有一个等号成立， 所以必有Mki?1?Mki,mki?1?mki……16分

所以Mki?1?Mki?4，所以aki?1?Mki?1?Mki?4 因为ki?ki?1，所以ki?ki?1?1 ，所以Mki?Mki-1+1 所以aki?1?Mki?4?Mki-1+1?4 所以aki?1?aki-1+1?4 所以aki?1?aki-1+1?4 所以ak2?1?ak1?1?4

ak3?1?ak2?1?4

ak4?1?ak3?1?4 …… akm?1?akm?1?1?4 所以akm?1?ak1+1?4(m?1) 所以akm?1?ak1+1?4(m?1)

所以ak1010?1?ak1+1?4(1010?1)??2018?4036?2018，

这与|an|?2018矛盾，所以假设错误， ……18分

*所以存在K?N，使得任意n，n?K，有bn?1?bn.

14、解：（1）设等差数列?an?的公差为d．由a1?1，a8?15得1?7d?15，

解得d?2． ………………………………………………………2分 则得 a2?a1?d?1?2?3，所以a?3．…………………………………………4分 （2）由S19?19a10，得 10?1?10?99?8?2?9a??2?19?(a?8)， 22解得a?2， …………………………………………2分 由an?2?an?2，且a1?1，a2?2，得

n?1?2?n； 2n?2当n为偶数时，an?a2??2?n． ………………………………………4分

2当n为奇数时，an?a1?*所以对任意n?N，都有an?n，当n?2时，an?an?1?1，

所以数列?an?是以1为首项、1为公差的等差数列． …………………………………6分 其它解法，对应给分。

n?1（3）由题意an?a， ……………………………………………1分

①当0?a?1时，a3?a2?a1?Sm，

*所以对任意m?N，都有?Sm?a2??Sm?a3??0， ………………………………2分

因此数列?an?不具有性质M． …………………………………………3分 ②当a?1时，an?1，Sn?n，

2*所以对任意m?N，都有?Sm?a2??Sm?a3??(m?1)?0，

因此数列?an?不具有性质M． ．…………………………………………4分 ③当1?a?2时，(a?1)?0?a(2?a)?1?211?a?loga?1 2?a2?a1an?1n?loga??an?Sn?an?1,

2?aa?11an?1n?loga??an?Sn?an?1

2?aa?1取?loga??1??n0(??x??表示不小于x的最小整数)，则Sn0?an0?1，Sn0?1?an0.

2?a??所以对于任意m?N*，(Sm?an0)(Sm?an0?1)?0， 即对于任意m?N，Sm都不在区间an0,an0?1内，

所以数列?an?不具有性质M． ………………………………………………6分

nan?1n?2?a?a?1?a??0，且Sn?an， ④当a?2时，Sn?an?1?a?1a?1*??即对任意的n?2(n?N)，都有?Sm?an??Sm?an?1??0，

*所以当a?2时，数列?an?具有性质M．……………………………………………7分 综上,使得数列?an?具有性质M的正实数a的集合为[2,??)． …………………8分 ③④的另解：

当a?1时，?an?单调递增，?Sn?单调递增，且n?2时，Sn?an．

*若对任意n?2(n?N)，都存在m?N，使得?Sm?an??Sm?an?1??0，即存在Sm在区间

*(an,an?1)内．

观察(a2,a3)，(a3,a4)，…，

发现在(an,an?1)内的Sm只能是Sn． ……………………………………………5分 证明：在n?1个区间(a2,a3)，(a3,a4)，…，(an,an?1)内需要n?1个Sm， 因为S1?a2，Sn?1?an?1，所以可选择的Sm只能是S2,S3,???,Sn，共n?1个． 由S2?S3?????Sn，得an?Sn?an?1． …………………………………………6分

an?1?an， 所以只需满足Sn?an?1恒成立，即

a?1得2?1?a对任意n?N*都成立． na??1?1??lim2??2，所以a?2． 单调递增，且??nn?n??a?a??因为数列?2?综上,使得数列?an?具有性质M的正实数a的集合为[2,??)．……………………8分 15、解：（1）因为数列?bn?是“?数列”，且b1?1，k?3、d?4、c?0，

所以当n?1，n?N?时，b3n?1?0， 又

2016?672?N*，即b2017?0， 3 b2018?b2017?d?0?4?4，b2019?b2018?d?4?4?8 （2）因为数列?bn?是“?数列”，且b1?2，k?4、d?2、c?1

b4n?1?b4n?3?cb4n?b4n?3?1??b4n?1?d??b4n?3??b4n?2?2d??b4n?3??b4n?3?3d??b4n?3?3d?6则数列前4n项中的项b4n?3是以2为首项，6为公差的得差数列，

易知?b4n?中删掉含有b4n?3的项后按原来的顺序构成一个首项为2公差为2的等差数列，

?S4n?(b1?b5?L?b4n?3)????b2?b3?b4???b6?b7?b8??L??b4n?6?b4n?5?b4n?4?+?b4n?2?b4n?1?b4n??? ?2n?n(n?1)3n(3n?1)?6?(3n)?2??2?12n2?8n 22nS4n12n2?8nS4nQS4n???3，?n??，设cn?n?，则???cn?max，

33n312(n?1)2?8(n?1)12n2?8n?24n2?8n?20cn?1?cn??? n?1nn?1333当n?1时，?24n2?8n?20?0，c1?c2；当n?2，n?N?时，?24n2?8n?20?0，cn?1?cn，∴c1?c2?c3?L，∴?cn?max?c2?即???cn?max?c2?64， 964 9bn?1?q，由等比数列的通项公式bn（3）因为?bn? 既是“?数列”又是等比数列，设?bn?的公比为

n?1有bn?bq，

km?1?当m?N时，bkm?2?bkm?1?d，即bq?bqkm?bqkm?q?1??d

① q?1，则d?0，bn?b； ② q?1，则qkm?dn?1km，则q为常数，则q??1，k为偶数，d??2b，bn???1?b；

?q?1?b经检验，满足条件的?bn?的通项公式为bn?b或bn???1?n?1b.

16、解：（1）f(1)?1，f(2)?2??????????????? ?????????????????（2分） 猜想f(n)?n??????????????? ?????????????????（2分） （2）an?9n?8??????????????? ?????????????????（5分） 由9m?9n?8?92m?9m?1?88?n?92m?1? 99?n?9m?1?1,9m?1?2,??????,92m?1??????????????? ?????????????????（6分） ?tm?92m?1?9m?1???????????????????? ??????????????????????????（7分） ?Sm?(9?1)?(93?9)?(95?92)?????(92m?1?9m?1)

?(9?9?9?????9????????????（9分）

352m?1)?(1?9?9?????92m?19(1?92m)(1?9m)92m?1?10?9m?1)????????1?921?9802??Sm对任意m?N*恒成立?2??(Sm)min?S1?8???3????????????????（10分）.

（3）b1?sin?4,记bn?sin?n,?1??4，则sin?n?1??21?cos?n?sinn 22??n??2n?1(n?N*)????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????（12分）

c1?tan??n??4,记cn?tan?n,?1??4，则tan?n?1?sec?n?1??tann

tan?n2?2*(n?N)????????????? ?????????????????????????????????????????????????????????（14分） n?1?bn?sin当x?(0,?2,cn?tann?1?2n?1,

?2)时，sinx?x?tanx可知： ?bn?sin?2n?1?2n?1?f(?2)?cn?tann?1?2n?1,???????????? ???????????????????????????（18分）

17、（1）a2??21，a3??； 33

（3）① m为奇数，最小值?m?1， 2m为偶数，最小值?m?2； 2② 不唯一，S8??4，例如0、?1、0、?1、0、?1、0、?1 和0、1、?2、1、?2、1、?2、?1均符合