7．（5分）椭圆
（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正
三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A． B．
C．
D．
【解答】解：依题意，以F1F2为底的正三角形的两腰中点在椭圆上 ∵|F1F2|=2c，以F1F2为底的正三角形的两腰上的高为∴椭圆离心率e=故选：C．
二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）
8．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是 2 ．
【解答】解：由g（1）=2得，g（1）=f（1）+4，解得f（1）=﹣2， ∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=2， 故答案为：2．
9．（5分）经过双曲线x2+y2﹣2x+y﹣15=0 ．
【解答】解：双曲线的左顶点A（﹣3，0）、虚轴上端点B（0，4）、右焦点F（5，0），
设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则
，得D=﹣2，E=，F=﹣15，
的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是
=
=
﹣1
c，
即圆的一般方程为x2+y2﹣2x+y﹣15=0， 故答案为：x2+y2﹣2x+y﹣15=0
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三．解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
10．（10分）已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求： （Ⅰ）p，q的值；
（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式． 【解答】解：（Ⅰ）∵x1=3， ∴2p+q=3，①
又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4， ∴3+25p+5q=25p+8q，② 联立①②求得 p=1，q=1 （Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n ∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n） =
11．（12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，值．
【解答】解：（Ⅰ）因为
f（x）=（sin2x+cos2x）
2
．
个单位长度，再
]时，求y=g（x）的最大值和最小
﹣
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2sin22x=sin4x+cos4x=
所以函数f（x）的最小正周期为（Ⅱ）依题意，y=g（x）=分） 因为当当
，所以，即
[
，…（6分） ．…（8分）
]+1=
．…（10
．…（11分）
时，g（x）取最大值
；
，即x=0时，g（x）取最小值0．…（13分）
12．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=
．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．
【解答】（Ⅰ）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E． 由四边形ABCD是等腰梯形得CE=
=1，DE=
=3，
所以BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°， 所以∠BOC=90°，即AC⊥BD． 由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD， 因为AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC． …（7分） （Ⅱ）解：方法一：作OH⊥PC于点H，连接DH．
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由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC． 所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH． 故∠DHO是二面角A﹣PC﹣D的平面角， 所以∠DHO=60°． 在Rt△DOH中，由DO=在Rt△PAC中，设PA=x，可得解得x=
，即AP=
=
． =
．
． …（15分） ，得OH=
．
方法二：（Ⅱ） 由（Ⅰ）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣0），B（
，0，0），C（0，
，0），D（﹣
，0，0）．
，
由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴， 故设点P（0，﹣
，t） （t＞0）．
设=（x，y，z）为平面PDC的法向量， 由
=（﹣
，﹣
，0），
=（﹣）．
，
，﹣t） 知
取y=1，得=（﹣2，1，
又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是 |cos＜，＞|=
=
=．
解得t=，即AP=． …（15分）
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