全国初中数学竞赛辅导(初2)第26讲 含参数的一元二次方程的整数根问题 

说明 从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．

例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2

(2)求证：b-1≤c≤b＋1； (3)求b，c的所有可能的值．

解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，

(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理 c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1 =(x1＋1)(x2+1)≥0， 所以 c≥b-1． 同理有

所以 c≤b+1， 所以 b-1≤c≤b+1．

(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况： (i)c=b＋1．由韦达定理知

x1x2=-(x1＋x2)＋1，

所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，

解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6． (ii)c=b．由韦达定理知

x1x2=-(x1＋x2)，

所以 (x1+1)(x2＋1)=1， 所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4． (iii)c=b-1．由韦达定理知

所以

综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．

练习二十六

1．填空：

(1)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，

(2)已知k为整数，且关于x的方程

(k2-1)x2-3(3k-1)x＋18=0

有两个不相同的正整数根，则k=____．

(3)两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x＋t=0的两个根，

(4)方程x2+px＋q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于____．

(5)已知方程(a2-1)x2-2(5a+1)x＋24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是____．

2．设m为整数，且4＜m＜40，又方程

(x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8＝0

有两个整数根，求m的值及方程的根． 3．已知关于x的一元二次方程

x2+(m-17)x+m-2=0

的两个根都是正整数，求整数m的值．

4．求使关于x的方程a2x2＋ax＋1-7a2=0的两根都是整数的所有正数a．

5．求所有的整数a，使得关于x的二次方程

ax2＋2ax＋a-9＝0

至少有一个整数根．