2.1.1 平 面
【选题明细表】 知识点、方法 三种语言的转换 公理的基本应用 共点、共线、共面问题 题号 1、2、6 3、4、5、9、10、11、13 7、8、12 基础巩固
1.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”,正确的表示是( B ) (A)A∈l,l?α (B)A∈l,l?α (C)A?l,l?α (D)A?l,l?α
解析:点A在直线l上,应表示为A∈l,
而直线l与平面α的关系应用l?α.故选B.
2.若点A在直线b上,b在平面β内,则A,b,β之间的关系可以记作( B ) (A)A∈b,b∈β (B)A∈b,b?β (C)A?b,b?β (D)A?b,b∈β
解析:点与直线是属于关系,直线与平面是包含关系,故选B.
3.(2015唐山市高二(上)期中)下列图形中不一定是平面图形的是( D ) (A)三角形 (B)平行四边形 (C)梯形 (D)四边相等的四边形
解析:利用公理2可知:三角形、平行四边形、梯形一定是平面图形,而四边相等的四边形不一定是平面图形,故选D.
4.(2015蚌埠高二(上)期中)经过空间任意三点作平面( D ) (A)只有一个 (B)可作二个 (C)可作无数多个 (D)只有一个或有无数多个
解析:当三点在一条直线上时,过这三点的平面能作无数个;当三点不在同一条直线上时,过这三点的平面有且只有一个,故选D.
5.在三棱锥ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF∩HG=P,则点P( B )
(A)一定在直线BD上 (B)一定在直线AC上 (C)在直线AC或BD上
(D)不在直线AC上,也不在直线BD上 解析:如图所示,
因为EF?平面ABC,HG?平面ACD, EF∩HG=P,
所以P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又因为平面ABC∩平面ACD=AC,
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所以P∈AC, 故选B.
6.把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上.
(1)A?α,a?α .
(2)α∩β=a,P?α且P?β . (3)a?α,a∩α=A .
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O .
解析:考查识图能力及“图形语言与符号语言”相互转化能力,要注意点线面的表示.习惯上常用大写字母表示点,小写字母表示线,希腊字母表示平面. 答案:(1)C (2)D (3)A (4)B
7.给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是 .
解析:空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内,故①错;若三条直线相交于一点时,不一定在同一平面内,如长方体一角的三条线,故②错;若两平面相交时,也可有三个不同的公共点,故③错;若三条直线两两平行且在同一平面内,则只有一个平面,故④错. 答案:0
8.求证:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:法一 因为l1∩l2=A, 所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以B∈l2. 又因为l2?α,所以B∈α. 同理可证C∈α. 又因为B∈l3,C∈l3, 所以l3?α.
所以直线l1、l2、l3在同一平面内. 法二 因为l1∩l2=A,
所以l1、l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,
所以l2、l3确定一个平面β. 因为A∈l2,l2?α,所以A∈α. 因为A∈l2,l2?β,所以A∈β.
同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.
所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.
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能力提升
9.空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( C ) (A)0 (B)1 (C)1或4 (D)无法确定
解析:当四点在同一平面内时可确定一个,四点不共面时可确定4个,故选C. 10.(2015蚌埠一中高二(上)期中)下列叙述中错误的是 ( B ) (A)若P∈(α∩β)且α∩β=l,则P∈l (B)三点A,B,C确定一个平面
(C)若直线a∩b=A,则直线a与b能够确定一个平面 (D)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l?α
解析:选项A,点P是两平面的公共点,当然在交线上,故正确; 选项B,只有不共线的三点才能确定一个平面,故错误;
选项C,由公理的推论可知,两相交直线确定一个平面,故正确;
选项D,由公理1,直线上有两点在一个平面内,则整条直线都在平面内.故选B.
11.(2015德阳市中江县龙台中学高二(上)期中)如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,则下列各组中的四个点在同一个平面上的是 .
①A、C、O1、D1;②D、E、G、F;③A、E、F、D1;④G、E、O1、O2.
解析:正方体ABCDA1B1C1D1中,若E、F、G分别为棱BC、C1C、B1C1的中点,O1、O2分别为四边形ADD1A1、A1B1C1D1的中心,①所以O1是AD1的中点,所以O1是在平面ACD1;
②因为E、G、F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D、E、G、F不共面; ③由已知可得EF∥AD1,所以A、E、F、D1共面;
④连接GO2,交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G、E、O1、O2四点共面. 答案:①③④
12.如图所示,平面ABD∩平面CBD=BD,E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,求证:EH与FG的交点P与B,D三点共线.
证明:因为直线EH∩直线FG=P,所以P∈直线EH,而EH?平面ABD,所以P∈平面ABD.同理P∈平面CBD,即点P是平面ABD与平面CBD的公共点.显然,点B,D是平面ABD和平面CBD的公共点.由公理3知,点B,D,P都在平面ABD和平面CBD的交线上,即点B,D,P共线.
探究创新
13.在正方体AC1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图
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(1)求证:D、B、E、F四点共面;
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.
(1)证明:由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O′,则O′C1=C1C,故O′与O重合.由此可证得DE∩BF=O,故D、B、F、E四点共面 (设为α).
(2)解:由于AA1∥CC1,
所以A1、A、C、C1四点共面(设为β). P∈BD,而BD?α,故P∈α.
又P∈AC,而AC?β,所以P∈β,所以P∈(α∩β). 同理可证得Q∈(α∩β),从而有α∩β=PQ. 又因为A1C?β,
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点. 连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.
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