以51为例，51|?26691?51|? (2669－1×5)；又51|?2664 ?51|? (266－4×5)；
显然51|?246 。51|1361241?51|(136124－1×5)，又51|136119?51|(13611－9×5)，又51|13566?51|(1356－6×5)，又51|1326?51|(132－6×5)，而51|102。
9. 写出所有的小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1．但两两均不互质．
解：设所求的三个自然数为a，b ，c. 由于两两都不互质．所以a，b，c 都是合数．由于a，b，c 都小于20，而最小三个质数的乘积 2×3 ×5 = 30 已大于20,因此a，b，c 这三合数中的每一个只能有两个不同质因数, 而相互之间又不能完全相同.
这样， a＝2×3＝6， b＝3×5＝15， c＝2×5＝10．是满足题意的一组解.
由于题目未限定每个数的质因数不能重复，这样 a＝2×2×3＝12 或2×3×3=18，而 b，c 仍分别为15, 10 (因为再大就超过20了）. 由此所得的两组数：12，15，10 与18，15，10 也是满足题意的解．
10. 有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号 .1 号同学写了一个自然数，2号说“这个数能被 2整除”，3号说“这个数能被 3整除”……依此下去，每位同学都说这个数能被他的编号整除 .1 号做了一一验证，只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对 .问：（1）说得不对的两位同学的编号是什么数？（2）如果 1号写的数是 5位数，这个 5位数是多少？ 解：（1）这两个连续的编号的倍数应该大于15, 否则编号是它们的倍数的同学说的也不对； 而且是这两个连续的编号的质因数的次数应该高于比它小的数，否则编号是它们的质因数的同学中至少也有一个说的也不对。因此它们是8，9.
（2）60060；因为1号写的数是2到15除8，9之外的整数的公倍数，也就是3，4，5，7，11，13的公倍数，找公倍数先找最小公倍数，3，4，5，7，11，13两两互质，它们的最小公倍数60060就是5位数。60060的2倍就是6位数,故答案唯一。
11. 用某一个数去除701, 1 059, 1 417, 2 312这四个数，所得余数都相同，满足要求的所有除数中最大的那个数是多少？ 解：701, 1 059, 1 417, 2 312两两相减，差的最大公约数就是所求的所有除数中最大的那个数。 1 059-701=358, 1417－1 059=358，2312－1417=895，
(895, 358)=(179 , 358)= 179. 故所求为179,且可知所得的相同余数是164. 12. 请填出下面购物表格中□内的数字： 品名 课桌 课椅 数量 72 77 单价（元） □.□□ □.□□ 总价（元） □□7.7□ 3□□.□□ □□3□.55 合计金额（元） 解：72=8×9,8,9互质，故总价必为8，9的倍数，可推得为 707.76元，因而知课桌的单价为9.83元；课椅的总价为 3□□.79元，由77=7×11推得另两个数字,即课椅总价为 328.79元，再得课椅单价为 4.27 元；合计金额为 1036.55元 . 13.（略）
14. 某位同学没有注意写在两个七位数之间的乘号，将其误认为是一个14位数，有趣的是此14位数正好是原来两个七位数乘积的三倍，试求出这三个数。
解：设两个七位数分别是a，b，则由题设14位数a×107+b=3ab，即b=3ab－a×107= a (3b－107)，令k=3b－107，b=ka（k<10）, 得a×107+ ka=3ka2，即107+ k=3ka (*),
107 =(3a－1)k, k | 107，107只有2m×5n（m，n至少一个为正整数）形式的约数, 即k=2,4,5,8. 又由(*)，107+ k为3 的倍数，可排除4, 而若k=5, 8, 则107+ k=3ka≥15a, 107+ k 大于1.5×107，这是不可能的。因此只有k=2，即107+ 2=6a，∴ a=1666667，b=3333334. 或解：由a×107+b=3ab，得a?b7
，a与b同为七位整数，∴3b－10只能是一位整73b－10b已经是六位数了，故只有b=3333334。
3b－107数，且3b是3的倍数且大于107，故3b为107+2或107+5或107+8等,于是b=3333334或3333335等，但b≥3333335时，b－107≥5，此时a?以上两种方法基本相同，只不过前者考虑b为主，后者考虑a为主。 附）广西师范大学 赵继源主编的《初等数论》习题1—3中的部分题目(与以上相同的不列) 2.求证：［an，bn］= ［a，b］n（a，b，n∈Z+）.
7. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 12 米，黄鼠狼每次跳 2 34米，它们每秒钟都只跳一次，比赛途中，从起点开始，每隔 12 38米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米？
8. 大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长 54厘米，爸爸每步长 72厘米 .由于两人脚印有重合，所以雪地上只留下 60 个脚印，求花圃的周长 . 9. 设 a，b是自然数，a + b=33，［a，b］=90，求（a，b）.
10. 一公路由 A 经 B 到 C，已知 A、B 相距 280 米，B、C 相距 315米，现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并要求在 B 点、AB、BC 的中点上都要植上一棵树，那么两树间的距离最多有多少米？
11. 一袋糖不足 60 块，如果把它平均分给几个孩子，则每人恰好分得 6块；如果只分给这几个孩子中的男孩，则每个男孩恰好分得 10块 .这几个孩子中有几个女孩？
12. 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的 7 倍，过几年是你的 6倍，再过若干年就分别是你的 5 倍、4 倍、3 倍、2 倍 .”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？
习题 1-3解答 2. 证： 由定理1.14?an??anbnbnnn??a,b?,?a,b????,?a,b???n?nn??a,b?n??a,ba,ba,b?????????nn?n ??a,b?，
????a?n?b?n?ab??而由定理1.13, ，从而由定理1.21推论3，?=1。 ,??a,b?,?a,b???1???a,b????a,b????????????∴（an，bn）=（a，b）n，再由定理1.19,［a，b］（a，b）= a b，等式两边同时n次方，得
[a，b］n（a，b）n = a n b n， 同样由定理1.19， ［an，bn］（an，bn）= an bn， ∴ ［a，b］n（a，b）n =［an，bn］（an，bn）； ∴ ［a，b］n =［an，bn］。 7. ?4500,12375??49500,?2750,12375??24750,24750较小，24750?2750?9. 黄鼠狼在第9跳掉进陷阱，此时狐狸跳了4.5×9 = 40.5米 . 8. [54，72]=216，每216厘米有脚印
216216??1?6个，故花圃的周长2160厘米 . 54729. 此题应该先讨论a + b，［a，b］与（a，b）的关系。
令(a,b)?d,a?dt1,b?dt2,?t1,t2??1,?x,y使xt1?yt2?1,x(t1?t2)?(y?x)t2?1, ?(t1?t2,t2)?1.同理(t1?t2,t1)?1.?(t1?t2,t1t2)?(t1?t2,t1)?1(定理1.21),
?(dt1?dt2,dt1t2)?d(定理1.14).即，?a,b??(a?b,?a,b?). ( 33, 90 ) = 3, 所以 ( a, b ) = 3.
10. 因为AB、BC 的中点上都要植上一棵树，315÷2=157.5因此应考虑1400和1575的最大公约数175。最后答案：两树间的距离最多有17.5米 . 11. 2个 .
12. 设小明 x岁，则爷爷 7x岁，7x +h =6(x+h) , x=5h; 7x +k =5(x+k) , x=2k; 7x +i =4(x+i) , x=i; 7x +j =2(x+j) , 5x=j; 知小明年龄是2, 5的倍数。因此小明 10岁，爷爷 70岁.
习题 1-4
1.把下列各数分解质因数：2001，26840，111111，999 999 999 999 解： 2001= 3×23× 29， 26840= 5×11×23×61， 111 111= 3× 7×11×13× 37. 999 999 999 999=111 111×9 000 009=33× 7×11×13× 37×1 000 001，而 1 000 001=101×9901，∴999 999 999 999=33× 7×11×13× 37×101×9901。 2.用分解质因数法求：（1）（4712，4978，5890，6327）；（2）［4712，4978，5890］. 解：4712=4×1178=23×589=23×19×31, 4978=2×2489=2×19×131 5890=10×589=2×5×31, 6327=9×703=32×19×37 ∴ (1)19， (2)3086360×9×37=1027757880．
3. 将 85，87，102，111，124，148，154，230，341，354，413，667分成两组（每组 6个数），怎么分才能使每组各数的乘积相等？
解：—组为：85，111，124，154，354，667；另一组为：87．102，148，230，341，413． 4．某校师生为贫困捐款1995元，这个学校共有教职工35人，14个教学班，各班学生人数相同，并且多于30人但又不超过45人，如果师生平均每人捐款的钱数都是整数元，那么平均每人捐款多少元？ 解：1995=3×665=5×399=7×285=5×7×57=3×5×7×19, 每人捐款的钱数只能是1、3、5、15、19、21或57。57不可能，否则教师捐款就够了; 19,15和1元也不行，与学生数显然不符; 平均每人捐款5元的话，每班人数为(399-35)=364÷14=26, 仍少于30; 所以平均每人捐款3元。此时每班人数为(665-35)=630÷14=45符合假定人数范围。
5. 甲、乙两人各射五箭，每射一箭得到环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数。两人五箭所得环数的乘积都是1764，但甲的总环数比乙的少4环求甲、乙两人的总环数各是多少？
解：1764=4×441=4×212=22×32×72, 由441-1=440=2×220,220=11×10×2 6．证明：（1） (a，[b，c]) = [(a，b)，(a，c)]
2?a,b,c?[a,b,c]（2）.此题1-3已证明，在此要求用分解质因数方法证明。 ?[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a)2r
（采用教材p成分的说法，可使证明叙述起来简捷一些：设p为质数，a，r∈N+,如果p | a， 且 p
r+1r
| a，这时称 p为 a 的 p 成分，用 p(a) 表示a的p成分的幂指数，即p(a) =r. ）
证明：设p(a) =l，p(b) = m，p(c) =n，且不妨设l≥m≥n。
（1）p (a，[b，c]) =min{ p(a),max{ p(b), p(c)} }= min{l, m}=m，
p [(a，b)，(a，c)]= max{ min{ p(a), p(b) }, min{ p(a), p(c)}}= max{m,n}= mr.
由于p是任意质数，所以(a，[b，c]) = [(a，b)，(a，c)]。
（2）∵p([a,b][b,c][c,a])?p[a,b]?p[b,c]?p[c,a]?l?m?l?2l?m
??[a,b,c]2p[a,b,c]?2p[a,b,c]?2l,∴p????m。
?[a,b][b,c][c,a]?2∵p((a,b)(b,c)(c,a))?p?a,b??p(b,c)?p(c,a)?m?n?n?2n?m
2??a,b,c??2p[a,b,c]?2p[a,b,c]?2n ∴p????m。
?(a,b)(b,c)(c,a)???由于p是任意质数，所以题设等式成立。
7. 自然数555 555的约数中，最大的三位数是多少？ 解：555 555=5×111 111= 3×5×7×11×13× 37. 约数最小的三个相乘已经是三位数，那么在
C63?6?5?4?20种取法中， 3×5×37=555显然太小，故3,5只能取一个：5×11×13
3?2=55×13=715，再调大如7×11×13=1001就超出了；3×7×37=777，调大如3×11× 37=1 111,已经超出，故777即为所求。
8.若 2836，4582，5164，6522 四个数被同一个自然数相除，所得余数相同，求除数和余数各是多少？
解：4582-2836=1746=2×873=2×9×97, 5164-4582=582=2×291=2×3×97, 6522-5164=1358=2×679=2×7×97, （1746，582，1358）=2×97 所以，除数为97时，余数为23；除数为194时，余数为120． 9. (1) 所有正约数之和＝15的最小自然数是多少？ (2) 所有正约数之积＝64的最小自然数是多少？
(3) 有没有这样的自然数，其所有正的真约数之积等于它本身？
解 (1) 15=1×15=3×5，若15=1×15，a有唯一质因数，即a=p， 由公式??a?=15?p?p???1??k?1?p?1，?p(p??1??p?1)?14，p只能是2.
令自然数a=2k，此时??a??22?1?15，得k=3，即a=8；
pi?i?1?1若??a??15=3×5，即??3×5
p?1i?1i3?pi?i?pi?i?1??pi?1?pi(p?i?1??pi?1)?2，pi,?i无解。
故??a??15=3×5为不可能。因此所求最小自然数就是8. （2）a??a??64?26,a??a??212或a??a??46,a??a??84a??a??642。
??a? ?(2)=2≠12, ?(4)=3≠6, ?(64)=7≠2, ?(8)=4, 因此所求最小自然数就是8. (3) 自然数a的所有正约数之积=a，由题设有a??a??a2，即??a??4=22，
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