1．关于几何概型和古典概型的区别，正确的说法是( )
A．几何概型中基本事件有有限个，而古典概型中基本事件有无限个 B．几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个
C．几何概型中每个基本事件出现的可能性不相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性相等
D．几何概型中每个基本事件出现的可能性相等，而古典概型中每个基本事件出现的可能性不相等
解析：选B.几何概型和古典概型的相同点是每个基本事件出现的可能性相等，区别是几何概型中基本事件有无限个，而古典概型中基本事件有有限个，故选B项．
2.(2020年高考福建卷)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
11A. B. 4312C. D. 23
解析：选C.这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为1
·|AB|·|AD|21
＝.故选C.
|AB|·|AD|2
3.向如图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是( )
17A. B. 8927C. D. 916
解析：选C.由面积型几何概型公式可知选C. 4.如图所示，在平面直角坐标系xOy内，射线OT落在以x轴正向为起始边的135°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠xOT内的概率为________．
解析：记事件A为“射线落在∠xOT内”，事件A的几何度量是135°，全体基本事件的几何度量是360°，所以由几何概型的概率公式
1353
得P(A)＝＝.
36083答案：
8
一、选择题
1．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )
12A. B. 5534C. D. 55
S△ABE＝S矩形ABCD解析：选C.设事件A“乘客候车不超过3分钟”，汽车每5分钟一辆，事件A发生恰好是乘客在[2,5]时间段内到达车站．
5－23P＝＝.
55
2．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
ππA. B．1－ 44ππC. D．1－ 88
解析：选B.如图所示，当点M位于长方形中的半圆以外时，点
π2－
2π
M到O的距离大于1，该部分的面积是2－，故所求的概率为
22
π
＝1－，故选B.
4
3．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a≤13的概率是( )
11A. B. 3737C. D. 1010
13－103
解析：选C.a∈(10,13]，∴P(a≤13)＝＝.
20－1010
4．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )
A．0.008 B．0.004 C．0.002 D．0.005
解析：选D.大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验
2
结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝＝0.005.
400
5．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P，使得1
VP－ABC 273A. B. 8411C. D. 24 解析：选A.设三棱锥P－ABC的高为h， 1 ∵VP－ABC 2111 ∴S△ABC×h<×S△ABC×3， 3233 ∴h<，即点P位于中截面以下， 2 故所求概率为 113×S△ABC×3427P＝1－＝. 18S△ABC×33 221 6．(2020年青岛检测)在区间[－1,1]上随机地任取两个数x，y，则满足x＋y<的概 4 率是( ) ππA. B. 168ππC. D. 42 解析：选A.由条件知－1≤x≤1，－1≤y≤1，∴点(x，y)落在边长为2的正方形内部 221 及边界上，即A＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，∴SA＝4.记事件B＝“x＋y<”，则 4 πSBπSB＝.∴PB＝＝. 4SA16二、填空题 7．(2020年高考湖南卷)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________． 1 解析：[－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是. 3 1答案： 3 2 8．函数f(x)＝x－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0，使f(x0)<0的概率是________． 解析：画出函数f(x)的图像，由图像得当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0.任取一点x0∈[－5,5]的结果有无限个，属于几何概型．设使f(x0)≤0为事件A，则事件A构成的区域长度是 3 2－(－1)＝3，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝. 10 3 答案： 10 9．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B，则劣孤长度小于1的概率为________． 解析：圆周上使弧的长度为2，B点落在优弧2小于1的概率为. 32答案： 3 三、解答题 的长度为1的点M有两个，设为M1，M2，则过A的圆弧 上就能使劣弧 的 的长度小于1，所以劣弧AB的长度 6 10．(2020年吉林质检)在区间[0,1]中随机地取出两个数，求两数之和小于的概率． 5 解：在区间[0,1]中任取两个数x，y组成有序数对(x，y)，整个区 6 域是边长为1的正方形．如图所示，设两数之和小于为事件A，则事件 5 14 A对应的区域为图中阴影部分，又∵阴影部分的面积为S1＝1－×()2 25 17 ＝，正方形的面积为S正＝1， 25 S117 ∴P(A)＝＝. S正25 11．某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟． (1)求乘客到站候车时间大于10分钟的概率； (2)求候车时间不超过10分钟的概率； (3)求乘客到达车站立即上车的概率． 解：(1)如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1、T2，T1T2＝15. 设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A. 则当乘客到站时刻t落在T1T上时，事件A发生． ∵T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15， T1T2 ∴P(A)＝＝. T1T215(2)如图所示，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝(3)如图所示，当t落在T0T2上时，乘客立即上车，故所求概率P＝12．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取点M. (1)求M落在三棱柱ABC－A1B1C1内的概率； (2)求M落在三棱锥B－A1B1C1内的概率； (3)求M与面ABCD的距离大于的概率； 3 (4)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率． 3 3 解：V正方体＝a. 12131 (1)∵V三棱柱＝a·a＝a，∴所求概率P1＝. 222111213 (2)∵V三棱锥＝·S△A1BB1·B1C1＝·a·a＝a， 33261 ∴所求概率P2＝. 6 TT213＝. T1T215 T0T231 ＝＝. T1T2155 aaaa－ (3)P3＝ 32＝. a3331 ＝. a3 aaa－－(4)P4＝
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