专题三 压轴解答题
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题
【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．
类型一 中点问题
x2y2典例1 【山东省济南市2018届高三上学期期末考试】已知点P??2,1?在椭圆C:2??1?a?0?上，
a2动点A,B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点. （1）求椭圆C的方程和直线AB的斜率； （2）求?PAB面积的最大值.
x2y2【解析】1）将P??2,1?代入2??1，得，
a22212??1， a2?8， 2a2x2y2椭圆方程为??1
82设直线AB:y?kx?m， A?x1,y1?， B?x2,y2?， A,B的中点为M?x0,y0?
y?kx?m由{x2 得?1?4k2?x2?8kmx?4m2?8?0 y2??18214kmmy?kx?m? ，， ?x1?x2???0021?4k21?4k2y01???kOP， ， x02x0?直线OP经过弦AB的中点，则kOMm11??， k? ?4km22
设f?m????m?2??m?2???2?m?2?， 则f??m????3?m?2?33??m?2???m?2?3? ??4?m?2?2?m?1? ?求得f?m?max?f??1??27，所以Smax?27?33.
【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求．
x2y23,原点到椭（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆?:2?2?1(a?b?0)的离心率为【举一反三】
ab2圆的上顶点与右顶点连线的距离为（1）求椭圆?的标准方程;
（2）斜率存在且不为零的直线l与椭圆相交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线的纵截距为-1,求直线l纵截距的取值范围.
25. 51x222?m?3. 【答案】（1）；（）?y?134【解析】（1）原点到椭圆上顶点与右顶点连线的距离为aba2?b2?25. 5又离心率
c3，又因为a2?b2?c2， ?a2x2解得a?2，b?1，所以椭圆?方程为?y2?1．
4
（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线l的方程为：y?kx?m(k?0)，
2x将y?kx?m(k?0)代入?y2?1得：
4(1?4k2)x2?8kmx?4m2?4?0，
于是??64km?4(1?4k)(4m?4)?16(1?4k?m)?0得：1?4k2?m2 且x1?x2?222222?8km， 21?4kx1?x2?4kmm ?y?kx?m?，0021?4k21?4k2设AB中点M(x0,y0)，则x0?因为线段AB的垂直平分线的纵截距为?1，所以线段AB的垂直平分线过点(0,?1)，
m?12?11?4k?所以，即3m?1?4k2， ?4kmk1?4k2因为k?0，所以3m?1?4k2?1， 所以m?1， 33m?1?4k2代入1?4k2?m2得0?m?3，
所以
1?m?3. 3类型二 垂直问题
x2y2典例2 （2019·山东高考模拟（理））已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，离心
ab率为3，A为椭圆上一动点（异于左右顶点），?AF1F2面积的最大值为3． 2（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l:y?x?m与椭圆C相交于点A,B两点，问y轴上是否存在点M，使得?ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
x2【答案】（1）（2）见解析 ?y2?1；
4【解析】（1）?AF1F2面积的最大值为3，则：bc?3
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