??25?13xx2?1??2412作仿射变换? 55?5??x2?x1?x2?12812? (3)
便能满足题目的要求，因此（3）是所求的仿射变换。
证二：把所给的方程化为
2242?2???5??13??144?0 ?x1?3x1x2?x2?2x1?3x2?1????x2??13x2?????9????5????2??25313??13????5即 ?x1?x2?1???x2??????0
25??5????213??555??25?12?除以??，得到?x2????x2?x2???1
12??12812??23?5???25?13xx2?1??2412作仿射变换? 55?5??x2?x1?x2?12812?便得到x1?x2?1。
因此（2）就是所求的仿射变换。
222222（1）
(2)
1.1 已知平面的“绝对形”（画直线?作为无穷远直线，并在?上取任意椭圆型对和的任意两个对应点对，以确定绝对对合），还已知“长方形”的一条对角线上的两个顶点a,c以及一边a?b的方向，试作这个“长方形”（注意：边a?b的方向指通过a点的一条直线，b 的位置尚未确定）。 解：设直线?表示长方形的边a?b的方向????g，作g在?上绝对对合的对应点f，f?c与?的交点便是b，g?c与f?a的交点是另一顶点d，abcd是符合条件的“长方形“。
1.2 已知平面绝对形和三角形abc，试作三角形的“高“和”重心“。
解：设三角形三边b?c，c?a，a?b与无穷远直线?的交点依次是a?，b?，c?，作a?，b?在绝对对合里的对应点a?，b?。
????? 作??a?a?????b?b????h，则h?a和h?b是两条边b?c和c?a上的高。所以
????h?a和h?a?，h?b和h?b?是互相垂直的。即属于一个正交对合，但a，a?；b，b?；
和c，c?是完全四边形的三对对顶点。这完全四边形的边是b?c，c?a，a?b和?，根据第二笛沙格定理，点h与它的三对对顶点连成的直线属于同一对合。既然h?a，h?a?与
h?b，h?b?属于一个正交对合，所以h?c，h?c?也属于它，因而h?c，h?c?互相垂
直。所以h?c是三角形a?b上的高，h就是“垂心”.
1.3 已知平面“绝对形”和一个圆锥曲线c（已画出）。又知一条直线g。试作圆锥曲线c的切线垂直于个的切线。
解：设直线g交无穷远直线于a?，作点a?在绝对对合里的对应点a?；通过点a；作圆锥曲线c的切线a1和a2便是所求的切线。
2.1 试求关于直线x?y?1?0的反射变换公式。
解：直线x?y?1?0的齐次射影坐标为??1,1,1?，它与无穷远直线的交点为
??b??1,?1,0?，在绝对对合里，b的对应点为a??1,1,0?。
c?0,?1,1?， 以a为中心，为此，可以在?再取二点，?为轴的调和透射就是所求的反射，z???1,0,1?，并取点z?a?z??0,1,1?，z??a?z??2,1,?1?，由abcd?abcz? 确定直?010???线?x??x?100?
?11?1????x???y?1所以在欧几里得平面内，关于直线x?y?1?0的反射为?
?y??x?1?3.1 根据“圆周是确定绝对对合的圆锥曲线”这个定义，证明圆周的方程可以写作
x2?y2?2a13x?2a23y?a33?0
证：绝对对合由它的两个二重点I??1,i,0? 和J?1,?i,0?完全确定。如果圆锥曲线
23?x12?a22?x2?x1x2?2a13?x1x3?2a23?x2x3?2a13?x1x3?a33?x2??0确定绝对a11?2a12?0,aik对合，那么它必须通过I和JJ，以I和J的坐标代和方程，得
??a22??2a12?i?0 a11
??a22??2a12?i?0 a11??a22?，a12??0 解得 a11??a22??0（否则aik??a22??a?0，于是经过I和J的??0），因此，令a11这里a11
222?x2x3?a33?x2x3?a33?x3?0，圆锥曲线方程可以写作ax1?x2?2a?13x1x3?2a23 （1）
??反过来，如果圆锥曲线的方程可以写作（1）的形式，那么它一定与无穷远直线相交于I22和J，事实上，以x3?0代入（1），得到ax1?x2?0，并且a?0的交点是
???x1,ix1,0?~?1,i,0?和?x1,?ix1,0?~?1,?i,0?，就是I和J，所以，圆周的射影式方程为：
22?x2x3?a33?x3ax12?x2?2a?13x1x3?2a23?0
?? 除以a，令x?x1x?a，a23?a23?a，a33?a33?a， ，y?2，a13?a13x2x3则得欧式平面上圆的方程：
x2?y2?2a13x?2a23y?a33?0
3.2 两条有穷远直线（普通直线）交角如不存在，则至少存在有一条是迷向直线。
v1和v2是通过?1??2的两条迷向直线，证明：设?1和?2是 两条普通直线，若???1,?2???，
且r?R??1,?2;v1,v2?，则由拉盖尔公式
???1lrn 2i若角?不存在，则r?0，即
R???1,?2;v1,v2??0
所以?1~v1或?2~v2，即?1，?2中至少有一条是迷向直线。
3.3 试求射影变换???a??bad?bc?0，以迷向直线为二重直线的冲要条件。
c??da??b
c??d证明 若??~?，则???c?2??d?a?d?b?0
迷向直线在线束里的非齐次射影坐标为i，?i，把这两个坐标代入上式，得
??b?c???d?a?i?0 ??b?c???d?a?i?0
?d?a，b??c
反过来，若d?a，b??c，则二重直线为?i，所以，d?a，b??c是所要求的充要条 件。
x2y2??1以点P??2,1?为中点的弦所在的直线方程（不得用解析几何3.4 试求椭圆164的方法解）。
解：把椭圆方程改写为齐次射影坐标方程：
224x12?16x2?64x3?0
P点的摄影坐标为??2,1,1?，确定椭圆的配极变换的矩阵为
0??100??40?????aik???0160?~?040?
?00?64??00?16???????64??16??????Aik????16?~?4?
??4??1?????
诱导变换的矩阵为
椭圆的中心为c?0,0,1?，直径为c?p????1,2,0?，此直径的极点Q的坐标方程为：
?16????1,2,0??4???16,8,0?~?2,1,0?
??1???若??Q?P，???2,1,0????2,1,1???1,?2,4?
?是平行于?的共个直径的直线，因为?平分平行于其共个直径的所有弦，所以?平分?在
椭圆内的弦于P点，因而，?是所求的直线，在笛卡尔平面上它的方程是：
x?2y?4?0
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