b，由笛沙格定理，对应边的交点(c1?c2)?(a1?a2)，(c2?c3)?(a2?a3)，
(c3?c1)?(a3?a1)属于一条直线。
3.6 设两条直线?和??上各有三个不同点x，y，z和x?，y?，z?，这些点与????都不同，那么三个点：a?(y?z?)?(y??z)，b?(z?x?)?(x??z)，c?(x?y?)?(x??y)是共线的。（pappus定理）。又叙述其对偶定理，并画出对偶图形。
证明：建立坐标系?(x,y?,z,b)，x~d1(1,0,0)，y?~d2(0,1,0)，z~d3(0,0,1)，b~e(1,1,1)
?y在x?z上而且不同于x和z，所以y的坐标为y?(1,0,?)
b?z~(1,1,1)?(0,0,1)?(1,?1,0)
点x?在b?z上且不同于b和z，所以x?的坐标可设为x??(1,1,?)。 z??(x?b)?(x??y?)?(0,?1,1)?(??,0,1)~(1,?,?)
a?(y?z?)?(y??z)?(???,???,?)?(1,0,0)~(0,?,???) c?(x?y?)?(x??y)?(0,0,1)?(?,???,1)?(???,?,0)
0a,b,c?1????1100??110????1?0
??????? ?a、b、c共线。 pappu定理的对偶定理： s设通过两个点p和p?各有三条不同的直线?，?，?和??，??，??，这些直线与直线p?p?都不相同，那么三直线??(????)?(????)，??(????)?(????)，
??(????)?(????)是共点的。
对偶图形：（图4）
图4 图5
3.7 已知三点形abc和两点a?、b?，确定点c?，使得a?a?，b?c?和b??c共点，而
且a?c?，b?b?和c?a?也共点，并求证a?b?，b?a?和c?c?共点。（如图5）
证明：当两个已知点a?，b?中至少有一个点在已知的三点形abc的边上时，本题显然成立、因此，假设a?和b?都不在三点形abc的边上；点c?的作法如下：首先，作
p?(a?a?)?(b??c)，则点c?又在b?q上；再作(b?b?)?(c?a?)，则点c?又在a?q上，
因此，c??(b?q)?(a?q)
为了证明a?b?，b?a?和c?c?共点，可以选择坐标系，计算这三条直线的坐标，然后证明行列式a?b?,b?a?,c?c??0即可。
由此取a?(1,0,0)，b?(0,1,0)，c?(0,0,1)，p?(1,1,1)，a??(m,1,1)，b??(1,1,n)，则直线b?b?，c?a?的坐标依次为b?b?~(n,0,?1)，c?a?~(?1,m,0) 从而q?(b?b?)?(c?a?)~(m,1,mn) a?q~(0,?mn,1)，b?q~(1,0,?1) c??(a?q)?(b?p)~(mn,1,mn)
由此求得a?b?~(0,?n,1)，b?a?~(1,0,?m)，c?c?~(?1,mn,0)
0a?b?,b?a?,c?c??1?n01?m?0 0?1mn
所以，a?b?，b?a?，c?c?共点。
本题证明也可以用pappus定理的对偶定理来证明。
3.8 已知定直线?和不在?上的两定点a，b。若p，q是ξ上的两个动点，p?q，而且p，q都不与(a?b)??重合。又点r?(a?p)?(b?q)，S?(a?q)?(b?q)，求证
t?(a?b)?(r?s)是一个定点。
证明：取各点坐标a?(1,0,0)，b??0,1,0?在直线?上取点c??0,0,1?和d??1,1,1?，则?的坐标???1,?1,0?，设p，(???，??0，q??1,1,??，q的坐标依次为p??1,1,??，
??0，否则p?q或者p，q与???a?b???1,1,0?重合)。
于是有 a?p??0,??,?1，b?p?(?,0,?1) b?q?(?,0,?1)，a?q?(0,??,1)
从而 r?(a?p)?(b?q)?(?,?,??) S?(b?p)?(a?q)?(?,?,??)
r?s?(??(???),??(???),???)?(??,??,?(???)) 所以 t?(r?s)?(a?b)?(??,???,0)?(1,?1,0)
22t的坐标不含参数，t为定点。
3.9 在一条直线上取(1,?1,2)，(3,2,1)和(0,?1,1)作参考点(其中(0,?1,1)作为单位点)，建立射影坐标系，试求点(5,2,3)的其次射影坐标。如果(1,1,0)和(?1,2,?3)与(1,?3,4)是第二个射影坐标系的参考点(其中(1,?3,4)作为单位点)，试求这两个坐标系的关系方程。
u?(0,?1,1)，y??(,?,)，z??(?,?,)，解：在?(y1z;u)中，在点(5,2,3)的坐标为(4,?21)。
在??(r,s;t)中，r?(?,?,0)，s?(,?,??3536553521551313?43812)，t??(1,?3,4) 336?3???y??r?s??1010 ?81?z??r??s??520?从?(y,z;u)到???(r,s;t)的坐标变换公式为：
68??????????105 ?
31??u?????1020? 3.10 设直线上从一个射影坐标系到第二个射影坐标系的坐标变换把点(0,1)，(1,1)，
(2,1)分别映射为点(0,1)，(4,1)和(3,1)，试求这个坐标变换公式。
答：?
120????12? ???0
5?12??u?5??12????1?2?1?3?2??3?3.11 试求???2?4?1?2?2?6?3诱导出来的点变换公式，并求这个变换的逆变换。
????????3?3?312???12?182??x1??x1????????105?5答：??x2????x2? ?x???161616??x???3??3????1??121016???1????????? ???2???18516??2? ??????2?516???????3??3?????x1??241??x2??????? ???x2????321??x2?
?x??1?63??x????3??3??3.12 设平面坐标变换把点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)和(1,1,1)依次变为点(?1,1,1)，
(1,?1,1)，(1,1,?1)和(1,2,3)，试求这个坐标变换公式
?555??555???答：?x??x?4?44? 4?44?240?0
?33?3?33?3??4.1 设射影变换?把直线?上射影坐标为(1,0)，(?1,1)和(2,1)的三个点依次变为直线??上射影坐标为(0,1)，(1,2)，(4,1)三个点，求?的变换公式。
答：???12x20??x1
???7x1?17x2?7??x212?0 174.2 确定直线?到??闪果断射影变换公式，它分别把 （1）0，1，2变换为0，4，3 （2）0，1，2变换为2，1，3
（3）0，1，∝变换为1，∝，0，并写出各变换的逆变换
12?7??3，（2）???
5??23??41 （3）???
1??2??4???8逆变换分别为（1）??，（2）??
5???123???7???1 （3）??
??答：（1）???
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