4.3 叙述直线?到??上射影变换定义的对偶定义和§4中定理10、15、16的对偶定理。 （略）
4.4 试求把点(1,0,1)，(2,0,1)，(0,1,1)和(0,2,1)分别映射为d1，d2，d3和e的直射变换，并且诱导出线变换和逆变换。
20?120?1??21答：?x??x2?? ?221?0
??2?20??2?20???2?20???诱导变换：????00?2
???2?1?2????202??12?2?????????22?2逆变换：?x?x???20?1? ????
?0?2?2??010?????4.5试求射影变换，它依次把
（1）d1，d2，d3和e变为(?1,1,1)，(1,?1,1)，(1,1,?1)，(1,2,3) （2）d1，d2，d3变为(?3,1,1)，(1,?2,1)，(1,1,?1)，而e保持不变。
?555??5?55???答：（1）?x??x?4?44? ?4?44?0
?33?3?33?3???933??933??? （2 ）?x??x?4?84? ?4?84?0
?66?6?66?6??5.1 求交比R(y,z;u,v)，已知y，z，u，v依次是： （1）(1,?1,?1)，(2,1,?8)，(1,0,?3)，(0,?1,2)； （2）(0,?2,1)，(2,1,?1)，(?6,1,1)，(2,?1,0) 答：（1）?2；（2）
3。 25.2 证明：点x?(1,4,1)，y?(0,1,1)，z?(2,3,?3)在一条直线?上，并求?上的一个点w，使得
?)? 4 R(x,y;z,w证明：设z??x??y，则??2，??5，所以x，y，z共线。若w??1x??1y，则R(x,y;z,w)???1?28??4，∴1??4(?)? ??2?1555(0?,1,1) (8所以 w?8x?5y?8(1,4,?1)5.3 试证：一直线上的四个不同点的交比经过中心射影保持不变。
证明：设y，z，u，v是直线?上的四个不相同的点，而??是与?不同的直线，a是不在?上也不在??上的任一点，以a为中心，用中心射影法，把y，z，u和v映射为??上的点y?，z?，u?和v?，四条射线一次是?，?，?，?，根据定理19，
有R(y,z;u,v)?R(?,?,?,?)
?,z?;u?,v?? R(y)∴ R(y,z;u,v?)?R(?,?,? ,R?(y?,z?;u? ,v 5.4 设a，b，c，d是直线上四个不同点，已知R(a,b;c,d)?3，求这四点交比的其他可能值。
答：
1123，?2，?，，。 32325.5 设y，z，u是直线上射影直线上的参考点，（u是单位点），若R(y,z;u,v)的值为（1）2；（2）
3，求点v的齐次射影坐标。 2答：（1）(2,1) （2）(3,2)
u?(?1,1)，v?(1,0)，5.6 设直线上四个点的齐次射影坐标为y?(2,1)，z?(1,2)，
求R(y,z;u,v)
答：2
5.7 设直线上三个点的齐次射影坐标为y?(2,1)，z?(1,2)，u?(?1,1)，
R(y,z;u,v)?2，求v点的坐标。
答：(1,0)(?,0)，?为任意非零常数。
5.8 已知直线上四点的非齐次射影坐标为x?0，y?5，z?2，w?3，试求交比的
所有可能值。
答：
495954，，，，?，?。 9495455.9 已知线束里直线的非齐次射影坐标为??1，??1，??3，???2，求2R(?,?;?,?)
答：
3 25.10 一直直线上五个不同的点ai，i?1,2,3,4,5，求证：
R(a1,a2;a3,a4)·R(a1,a2;a4,a5)·R(a1,a2;a5,a3)?1（利用定理23）
5.11 试证笛卡儿平面上共点a的四条直线?，?，?，?的交比为R(?,?;?,?)?sin(?,?)?sin(??,)
sin(?,?)?sin(??,)这里(?,?)表示以a为顶点，它的方向从?到?，(?,?)?为始边，?为终边的有向角，
等记号的意义与此相同。
证明：由a作?的垂线段，记它的长为h?0，应用三角形的面积公式。
S11yu?h?ayausin(?,?) ① agu2211Sazv?zv?h?azavsin(?,?) ②
2211Sazu?zu?h?azausin(?,?) ③
2211Sayv?gv?h?ayavsin(?,?) ④
22?①?②yu?zvsin?(?,?)s?in?(,?：得
③?④zu?yvsin?(?,?)s?in?(,))而
yu?zv?R(y,z;u,v)?R(?,?;?,?)
zu?yvsin(?,?)?sin(?,?)
sin(?,?)?sin(?,?)∴R(?,?;?,?)?5.12 试证y??z关于y、z的调和共轭点是y-λz.
证明：设所求的第四调点是v??1y??2z，则
R（y,z ; y+λz,?1y??2z）=-1 (?1?0、?2?0) ∴
??1??1,∴?2????1 ?2∴ v??1y???1z??1(y??z)?y??z.
5.13 试证：?:x1?x2?x3?0 ?:3x1?x2?x3?0,?:x2?2x3?0共点，求?关于?和?的调和共轭直线?。 答：3x1?2x2?x3?0
5.14 已知线束a里的三条直线?，?，?，试画出第四调和直线。
解：作任意直线?（不过a），?交?，?，?，于点y,z,u,在?上作y,z,u的第四调和点v,连结av??就是所求的直线。
判别下列个点对哪些是不分隔的？哪些是分隔的？
（1） (1,0),(0,1)和（1,1），（1,2） （2） （1,0），（0,1）和（3,2），（2，-5） （3） （3,2），（2,4）和（-1,1），（1,3） （4） （3,1），（1,2）和（2,1），（0,1）
答：（1）不分隔；（2）分隔；（3）不分隔；（4）分隔。
5.6 设y,z,u,v是直线?上的四个不同点，如果y、z?u、v，试证：y、u?z、v，
y、v?z、u
证明：∵R(y,z;u,v)???0， ∴R(y,u;z,v)?1?a?0 ∴y，u?z，u 5.5
R(y,v;z,u)?1?1??0，∴y、v?z、u。
6.1 利用迪沙格定理证明下列初等几何中问题。、
（1） 设平行四边形EFGH的顶点在另一个平行四边形ABCD各边上，试证这两个平
行四边形的四条对角线相交于一点。
（2） 四边形的边AB,BC,CD和DA上各有一点，
顺次是E,F,G和H。如果BD，EH和FG相交于一点M，则AC，EF和HG也相交于一点。 证明：（1）观察?AEH和?CGF，AE||CG,EH||GF,HA||FC,就是说，三对对应边的交点在一条直线上，即无穷远直线上，由笛沙格定理的逆定理，AC、EG、HF共点。 再看?BFE和?DHG,BD、EH、FG交于一点M，BE?DH?A,EF?HG?M,BF?DG?C三点共线。
所以，AC通过EF，HG的交点N。
6.2 设A,B,C,D共线。O是AC的中点，若OC是OB和OD的比例中项，则
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