R(A,B;C,D)??1
证明：按题设，AO=OC,OC?OB?OD R(A,B;C,D)? ∵AB?CD=(AO+OB)(CO+OD)=(OB+OC)(OD-OC)
=OB?OD?OC?OB?OC?OC?OD=OC(OD?OB)?OC?BD CBAD?(CO?22AB?CD
CB?ADO)(BA?O2)O?D(?OB)O(C?O DOC ?OB?OD?OC?OB?OC?OC?OD?OC(OB?OD)??OC?BD
OC?BD??1
?OC?BD11116.3 设R(A,B;C,D)??1,试证?(?)
CD2CACBAC?BD证明：R(A,B;C,D)???1
AD?BC ∴CA?BD??CB?AD
∴R(A,B;C,D)? CA?BD?CA(BC?CD)?CA?BC?CA?CD ?CB?AD??CB(AC?CD)?CA?CB?CB?CD
∴CA?BC?CA?CD?CA?CB?CB?CD ∴
1111?(?) CD2CACB6.4 已知一直线上的四点A,B,C,D,其中相邻两点的距离相等，试计算这四点交比的所有可
能值。
答：
习题二
1.1 叙述并证明第二章§1透视中定理5的对偶定理。
解：对偶定理：“线束x到线束x?上的透视变换是射影变换，它把公共直线x?x?映射到这条直线自身。”
证明：设?是线束x和x的透视轴，如果y,z,u,v是点列?上的任意四点，依次属于
'线束x的四条直线?,?,?,?；同时这四点又依次属于线束x的四条直线?,?,?,?。
''''4311，，?，-3，4， 3434''?,?;?,?)那么R(?,?;?,?)?R(y,z;u,v)?R(所以线束x到x的透视变换保持交
''''比不变，所以是射影变换。
' 若(x?x)????，则x??于x??是对应直线，而x??'x'??x?x'，所
以x?x自身对应。
'1.2 已知两个射影点列的三对对应点，试作这两个点列的公共点所对应的点。首先把这个公
共点看作第一个点列的点，然后看作第二个点列的点。再就线束研究类似的问题。
已知?和?里的三对对应a,a;b,b和c，c，????d。
''''（1） 把d看作是?里的点，在a?a上任取点s和s，作b0?(s?b)(s?b)，
''''''' c0?(s?c)?(s?c)，b0?c0??0，把d看作是?里的点，做(s?b)??0?d0 '''' (s?d0)???d，d就是d的对应点。
'''（2）把d看作是?的点d，(s?d)??0?d0，(s?d0)???d，d就是把d看作第
二个点列内的点(d)在第一个点列内的对应点。 1.3 叙述并证明巴普斯定理的对偶定理。 解：巴普斯定理的对偶定理是：
设?,?,?是通过点x的三条不同的直线；??,??和??是通过点x?的三条不同直线； x?x?，那么三条直线a0'(????)?(????)，?0(??a?)?(???a)，
?0(????)?(????)是共点的。
证明：设x?x??? ??(a???)?(???? ) ??(????)?(???? ) b????，b????? b(??,?0,?,?)?x?(??,??,??,?)?b?(?,?0,??,?)
???? ∴b(??,?0,?,?)b?(?,?0,??,?)
?是线束b和b?的公共直线切自对应，所以b(??,?0,?,?)b?(?,a0,??,?)
?????0??0， 因而存在透视轴，即三点????，也就是说三个点????，????的公共直线，?0??0，????共线，所以?0，?0，?0共点。
2.1 已知线束x里的三条直线?，?和?，求作直线?关于?和?的调和共轭直线。（利用完全四线形的调和性质或透视到一个点列中利用作第四调和点的方法作）
2.2 过三点形abc的顶点各作一直线a?a?，b?b?，c?c?，使它们相交于一点d，并分
?(c??a?)?(c?a)?b??，别交对边于a?，b?，c?；又(b??c?)?(b?c)??a，(a??b?)?(a?b)?c??，求证R(b,c;a,a??)??1，R(c,a;b,b??)??1，R(a,b;c,c??)??1
证明：由完全四点形ac?db?，b?c是它的一条对角线，b、c是两个对角线点；a?，a??是通过第三个对角线点的一对对边与b?c的交点，所以R(b,c;a?,a??)??1 其余部分用类似方法证明。
2.3 完全四线形是完全四点形的对偶图形，试利用平面对偶原理，写出完全四线形的定义
（包括顶点、边、对角点三线性等概念）及其调和性质。
解：任何三条都不共点的四条直线?，?，?，?以及这四条直线中每两条决定的六个交点所构成的集合称为完全四线形，这四条直线?，?，?，?称为完全四线形的边，这六个点称为顶点，在同一条边上的二顶点称为相邻的顶点；不在同一条边上的两个顶点称为对顶点，有三对对顶点：???与???，???与???，???与
???。
对顶点的连线 ??(???)?(??? ) ??(???)?(???) ??(???)?(???)
称为对角线。对角线的交点：???，???，???称为对角点，以及对角线喂边的三线形。
调和性质：过完全四线形的每一个对角点有一个调和直线集，它包括两条对角线，和这个对角点与在第三条对角线上一对对顶点的连线。
过完全四线形没一个顶点有一个调和直线集，它包括两条边，一条对角线，和这个顶点跟另外二对角线交点的连线。 试求直线?到它自身的射影变换：
3.1
????1??2?1?5?2 ?的二重点。
????2??2?1??2 答：（5,2），（1，-1）
3.2 直线?到它自身的射影变换把1,3变为5,4，并保持?不变，试求这个射影变换。
答：非齐次射影坐标???3.3
???11 2直线?到它自身的抛物型射影变换有二重点（2,1），并把（2,3）变为（1,0），试求变换方程。
解：设所求抛物型变换为???（1,0），故有
a??bab22，?0，为二重点，对应于?（即
c??d13cd??2a?b2 c?d?0
2c?d3因它是抛物型，∴(d?a)?4dc?0，c、d不全为0，否则
2abcd，故令c?0，从
102c，b??4c，d??c 33令c?3，则a?10，b??12，d??2
10??12得???
3??2而解得a?3.4 已知直线?到它自身的双型射影的两个二重点v，w和一对对应点x，x?，求作任一
点y的对应点y?
作法：通过v和w分别作直线?和?，在直线?上取适当的点s，作x0?(s?x)??，
s??(x0?x?)??，再作y0?(s?y)??，则y??(s??y0)??，y?即为所求的y的对
应点。
4.1 试求变换?：x??ax?b，a?0，已知??I，??I
解：??I的充要条件是a?1，b?0，?22的表达式为：
x??a(a?x)?b2?b2a?(x 1?b)a2 ∴??I的充要条件是a?1，b(a?1)?0
若a?1，则b?0，此时??I，应除外
若a??1，则不论b取什么值，总有??I，而??I，所以满足??I，??I的（b可取任何值）。 ?是 x???x?b4.2 设一个对合的两对对应点对的非齐次坐标是1，-1和-2,3，求这个对合方程
答：???225??1
???54.3 设一直线上的对合有二重点（1,1）和（2,0），试求这个对合的方程。
????1????1?2?2答：?
????2???24.4设对合的两个二重点的非齐次坐标为1和-2，求这个对合的方程。
答：?????4
?2??14.4 假设一个对合的两对彼此对应的点的非齐次坐标分别是二次方程（1）
a1x2?b1x?c1?0（a1?0）和（2）a2x2?b2x?c2?0（a2?0）的根，试求这个
对合的方程。
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