解 设所求的对合方程式???a??b
c??d 或写作 c????a(????)?b?0
若方程（1）和（2）的根分别为?1，?1?和?2，?2?，则
?1?1??c1b ?1??1???1 a1a1bc2 ?2??2???2
a2a2?2?2??代入（1）得c1c?b1a?a1b?0 c2c?b2a?a2b?0
因a，b，c不全为0，由（1），（2）消去a，b，c
????(????) c11a1?0这就是所求的对合方程。 a2b1b2c24.6 试证直线上的椭圆型对合的任意两对对应点是互相分隔的。
证明：设y，z和u，v是直线上椭圆型对合的任意两对对应点，如果y、z?u、v，则y，z和u，v所决定的对合是双曲型的，与假设矛盾。所以y、z?u、v。 4.7 试证：直线上两对点y，z和u，v有公共调和点的充要条件是y、z?u、v。
证：充分性，设y、z?u、v，以y，z和u，v为两对彼此对应点对确定一个双曲型对合，如果m，n是这个对合的两个二重点，那么由定理10， R(m,n;y,z)??1，R(m,n;u,v)??1
所以，y，z和u，v有公共的调和共轭点对m，n。
必要性 假设y，z和u，v有公共的调和点对m，n，那么以m，n为两个二重点作成一个双曲型对合?。由定理10和推论，双曲型对合?是完全确定的。而且?下的每一对对应点都是关于二重点m，n的调和共轭点。既然y，z和u，v都被m，n调和分隔，那么y，z和u，v都是?下的对应点对，可是双曲型对合的任意两对对应点互相不分隔，所以y、z?u、v。
4.8 同一直线上两个不相同的双曲型对合有公共的对应点对的充要条件是什么？
解：设直线上两个不同的双曲型对合?1和?2，它们的二重点依次是m1，n1和m2，
n2，如果?1和?2有公共的对应点对x，y，那么x，y就是m1，n1和m2，n2的
公共调和点对。反过来说也对。因此问题就转化为“直线上两个点对m1，n1和m2，n2有公共调和点对的充要条件是什么？”由前4.8题可知这个充分条件是m1，n2?m2，
n2。
所以，同一直线上两个不相同的双曲型对合有公共的对应点对的充要条件是它们的两对二重点互相不分隔。
4.9 如果直线?交三点形pqs的三边p?q，q?s，s?p于点a?，c?，b?，这些点与?上另三个点a，b，c是直线?上一个对合的三对对应点，求证：a?s，b?q，
c?p共点。
证明：设(a?s)?(b?q)?r，则pqrs是完全四点形，若(p?r)???c??，由第二笛沙格定理a，a?；b，b?和c??，c是属于同一个对合的三对对应点，记此对合为?，则?有两对对应点对a，a?；b，b?完全确定，∴c???c?。而按已知条件，c，c?也是?的一对对应点，c?c?，因为在对合?下，c?的对应点是唯一的，所以c??就是说a?s，b?q，c?p共点r。
4．10设三点形abc的三边b?c??，c?a??，a?b??，??，??，??是分别通过a，
??c，从而p?rp?c，
b，c而与各边不相同的直线，而且?是不同于?，?，?，??，??，??的任一直线，
置????a?，?????a??，????b?，?????b??，????c?，?????c??，试证：当且仅当a?，a??；b?，b??；c?，c??是一个完全四点形的三对对边与直线?的交点时，三直线??，??，??共点。
（提示：假设??，??相交于点p，考察完全四点形abcp）。
证明：设?????p，(c?p)???c0，则abcp是一个完全四点形，由第二笛沙格定理，三对对应点a?，a??；b?，b??；c?，c0属于同一个对合的三对对应点，然而由假设a?，a??；b?，b??；c?，c??也是同一个对合的三对对应点，所以c0和c??是同一对合里c?的对应点，所以c05．1试求直射
c??，从而c?p??，所以??，??，??共点p。
??x??x?x12?1? ??x2??8x1?3x2的二重点和二重直线。
??x3??x1?x2?x3?? 答：二重点x(1)?(3,?6,1)，x(2)?(0,0,1)，x(3)?(3,12,5)
(1) 二重直线 ??(4?,1,，0)?(2)?(7,2,?9)，?(3)?(2,1,0)
5．2 试求下列各直射的二重元素，并画出相关的位置的示意图。
?21?1???2?1（1）?x??x0??
??3?23????010???1（2）?x??x00??
?1?3?3???答：（1）x(1)?(1,1,?1) x(2)x?(4,3,9) ?(2)?(3)?(3?,1, 1)(3) ?(1)?(0,1, 1)(2)x(1)~x(2)~x(3)=(1,-2,1)x(1)~x(2)~x(3)=(1,1,1)x(1)~x(2)~x(3) 图19
5. 3 试求以a=(2,1,1)为中心，直线d3=(0,0,1)为轴，z=(2,0,1)和z=(2,-1,1)为一对对应点的透射变换。
'
x(1)~x(2)~x(3)0?2?'2 答：?x?0????2?10?? 0??1?''5.4下图中已画出透射变换的两对对应点z，z和y，y,透射轴上的一个点b，点b不
'在z′z，也不在y′y上，试画出透射轴和透射中心，若x是平面上一个点（不在轴上），
'试画出x的对应点x。
'（z?z)，（y?z)]?b，x?(z?x)??，解：透射中心a?(y?y)?透射轴??[(y?z)?''''_x?(a?x)?(z?x)
5． 5 证明：一个透射变换在通过它的中心的每一条直线上导出一个双曲型射影变换。
证明：设透射H的透射中心为a，投射轴为a，若z是通过a的任一直线，则z是H'H的二重直线。设Z是z上的一点，但不同于Z=z?a，也不同于a，则Z=Z必现在z_''_上。以z上的任何三个点y，z，u及其在H下的对应点y，z'，u，可以确定直线z到它自身的射影变换f，如果我们能够证明f的任何一对对应点v，v也是H的对应点对，即v=v,那么f就是H在直线z上诱导出的射影变换。事实上，在f下，有
H
ff''R(y,z;u,v)=R((y',z';u',vf)
在H下则有R(y,z;u,v)=R((y,z;u,v)
'''H?R((y',z';u',v?)?R((y',z';u',vH)
?v??vH
然而，a和z是H的二重点，那么它们也是f的二重点，而且a?~Z，所以f是一个摄影变换。
5.6 设a，b，c和a，b，c是两个三点形的顶点，而且a′a，b′b，c′c共点S, S不同于任何一个顶点，试证：存在一个透射变换，把a，b，c分别映射为a'，b'，c'。 证明：两个三角形abc和abc对应顶点的连线a′a，b′b，c′c共点S,由笛沙格
''''''''''''_b?(c?a)?(c?a)，c?(a?b)?(a?b)共线，定理，对应边的交线a?(b?c)?(b?c)，
设此直线为a。
如果a′a，b′b，c′c互不相同，如图21，则abcs和abcs是两个四角形点集，确定一个直射f，分别把a，b，c变为a，b，c。
直射里有一个二重点S，f诱导出线来S到它自身的射影变换，这个诱导出来的射影变换有三条不同的二重直线：a′a，b′b，c′c，所以线束S是线态不变的，线束S的每条直线与a的交点都是f下的二重点，a是点态不变的直线，当S不属于a时，f是一个透射。
如果a′a，b′b，c′c中有两条重合，例如b′b~c′c，如图22，这时，abcs和
'''''''''''''''''_''_''_''abcs都不是四角形点集，不能用它们确定直射，但可在a上任取一个不同于a，b，c的
点t，则abcs和abcs都是四角形点集，用abct?abct可以确定一个直射，这个直射当
'''''''''___S不在a上时，同样是一个透射。
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