当S在a上时，用上述方法确定的直射是合射。但是有些作者认为合射是中心在轴上的透射。根据这个观点，对于题设的两个三点形abc和abc总存在一个透射把a，b，c分别映射为abc。
''''''?4?15???是调和透射。 '1105． 7 试证直射变换f：?x?2?????11?2???4?15???
110 证：(aki)?2?????11?2???4?15??4?1?2?0?21121 (aki)????????11?2????11?因此f1?5??1??0????2??90?00? 0?900??9I，f2=I，所以直射是平面上的对合，由定理22，直射?是调和透射。
5．8试求使直线e=(1,1,1)为点态不变的直射变换
解：在e=(1,1,1)上取三点(0,1,-1)、(1,0,-1)和(1,-1,0)，它们都是二重点，代入直
'射?x?x(aki)，解得：
??????????0
?x'?x?????????????????5． 9试求以d1为轴，把(2,1,1)变为(3,2,0)的合射变换的方程 解 令Z=(2,1,1)，Z=(3,2,0)
'Z')d1=(0,1,-3)是合射中心 则a=(Z创?61?3??
?x'?x?060????006??5．10 试证：把点d2=(0,1,0)，q=(0,1,-1)，h=(1,-1,0)依次变为l=(-1,1,1)，
f=(1,-1,1)，k=(2,0,-1)，而点r=(1,1,-1)不变的直射是合射。
' 证明：设满足题设条件的直射为rx=x(aki)，r|(aki|10，点d2，g，h，r中无
任何三点共线，l，f，k，r中也无任何三点共线，由 r1(-1,1,1)=(0,1,0)(aki) r2(1,-1,1)=(0,1,-1)(aki) r3(2,0,-1)=(1,-1,0)(aki) r4(1,1,-1)=(1,1,-1)(aki)
?31?1???'解得直射f的方程：?x?x?111
????002??求此直射的二重元素，可得直线a=(-1,1,0)是点态不变的直线，点a=(1,1,-1)是线态不变的点，且a?a0，所以f是以a=(-1,1,0)为轴，a=(1,1,-1)为中心的合射。
6.1 三角形的顶点是一个已知三角形的高的垂足，这种三角形叫做垂足三角形。试已知
三角形的每一高平分对应的垂足三角形的一个角。
证明：设DDEF是DABC的垂足三角形，H是垂心，DF交CA的延长线于G,那么，由完全四点形的调和性质，R(G,E;A,C)=-1,AC就是完全四点形BDEF的一条对角线，又DADC是直角，\\AD平分DGDE
同理 BE平分DDEF,CF平分DEFD。
6.2 设M是线段AB的中点，P是不在AB上的一个已知点，限用直尺作过P而平行于AB的直线。
作法：通过A作任意直线交BP于点Q,点Q不同于P和B,连结AP?MQS,连结
BS?AQT,连结PT，即为所求作的直线。
6.3 已知DABC的顶点B和C，顶角A的平分线与对边的交点T，以及BC边上中线的长，求作DABC。
作法：1.作B，C，T的第四调和点P。 2.以TP为直径作圆周k。
3.取BC的中点D，以D为中心，中线长m。为半径画弧交k于A，则DABC即为所求三角形。
证明：根据作法，A在圆周k上，DTAP是直角，而且B，C，T，P是调和点列，所以AT是DBAC的内角平分线。
又BC的中点为D，DA=ma，所以DA是DABC底边上等于已知长的中线，所以
DABC符合条件。
讨论：P点是唯一确定的，圆周是唯一确定的。
1.若DP>ma>DT,则以D为中心，ma为半径的圆弧与k除交点A外还有一个交点
A'BC也符合条件，DA'BC与DA',DABC的形状、大小相同，位置在BC的两旁，通常把DA'BC和DABC算作一个解。
2.若ma￡DT,ma3DP,本题无解。
习题三
1.1已知平面
w?210???的对射变换????x131，试求点a（1,0,1）的对应直线和直线
????12?1???a（0,1,2）的对应点
??505???答：(Aki)??1?2?5??1?25???
a?=（1,3，-1），a?=（3，-6,5）
1.2 判断下列平面?到它自身的对射中，哪些是?上的配极变换的诱导变换(??x)
?311??1?12?????(1) ???x?210? (2)???x??123?
?011??230????? ??120??30?1????????x21?2???x110(3) ?? (4)???0?21???122?????
答：(2)、(3)是?上的配极变，它们的诱导变换是
6?7??9??3?2?4?????（2）?x???6?4?5? （3）?x????2?1?2???7?51???4?2?5?????
1.3 对于平面
???121???0?1?下列各对应点中哪些是共轭的？ 上的配极变换?：???x?2?1?1?3???（1）（1,0,1）和（1,4，-1），（,2）（1,1,1）和（1,-5，1），（1）（3,2,0）和（1,-1，1）
??121??1??1???????(1,0,1)20?14?(0,1,4)答：（1）?????4??0?1?13???1???1???????
点（1,0,1）共轭于（1,4，-1）
??121??1??1???????(1,1,1)20?1?5?(?1,3,5)（2）??????5??0?1?13??1??1???????
点（1,1,1）共轭于（1,-5，1）
??121??1??1???????0?1?1?(?1,3,5)（3）(3,2,0)2??????1???1?0
?1?13??1??1???????点（3,2,0）与（1,-1，1）不共轭。
?1?21??????x?22?11.4 写出配极变换??下自共轭点和自共轭直线的轨迹。
?1?1?2???答：在?下的自共轭点轨迹是
22x12?2x2?2x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3?0
??5?50???x????5?3?1??
?0?1?2????自共轭直线的轨迹是5?12?3?22?2?32?10?1?2?2?2?3?0
2.1 已知配极变换
????1?2x1?x3??：???2?x2?x3，求自共轭点的轨迹；求直线????2x?x13?3?(1,1,1)的极
点和在上的诱导对合及这个对合的类型
??20?1??????x011???把表示为
??110? ??则
??1?11???x????1?1?2??
?1?22???在?下的自共轭点的轨迹为
22x12?x2?2x1x3?2x2x3?0
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