??1?11??????x?(1,1,1)??1?1?2??~(1,4,?1)
?1?22????x???(1,4,?1)、（1,1,1）?0所以不是自共轭直线。
在?上取点y1?(1,0,?1)和y2?(1,?1,0)
?20?1???y1??(1,0,?1)?011?~(?3,1,1)~?1
??110????20?1????y2?(1,?1,0)?011?~(?2,1,2)~?2
??110??????1???(0,1,?1)，y2???2???(1,?4,?3) y1?和y2为参考点，在?上建立坐标系，使y1，y1它们的坐标依次是：（1,0），（0,1）和（1,1），?的坐标为（1,4）?和2为两对彼此对应的点确定对合： 于是y2，用y1，y1??????04?04? ??0 ?10?10?便是所对的对合????，又?4?1?4?0，所以????是双曲型对合。
2.2 当已知自极三点形，并已知不在这个三点形边上的一个点及其极线时配极变换就确定
了。 证明：若点d不在已知的自极三点形abc的边上，则d的极线?不通过任一顶点。若?，?，?，?中无任何三条直线共点，又a,b,c,d中无任何三点共线。因此，以这四点及其极线可唯一地确定一个极配变换 。
2.3 试证：在射影平面上对于给定的配极变换?，总能找到一个自极三点形。 证明: 设给定的配极变换为：
???x?aki? ?aki?0 aik?aki
则自共轭点的轨迹为：
22a11x12?a22x2?a33x3?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3?0
首先，证明平面上至少有一个点不是自共轭的，就是说，至少有一个点的坐标不满足（1）。
aik不能全为 0，事实上，否则aik?0，若aii，例如a11?0，。i?(1,2,3)中有一个不是0，
x2?0，x3?0代入则以x1?1，（1）式，得到;左边=a11，右边=0，就是说，这时有点（1,0,0）
不是自共轭点。
若aii，i?(1,2,3)而i?k时，aik中有一个不是0，例如a12?0，则把点（1,1,0）代入（1）式左边，得到：
a11?a22+2a12=0 而a11?a22+2a12=0 ，?a11?a22+2a12=2a12?0
因此，点（1,1,0）不是自共轭点。 总之，平面上至少有一个非自共轭点。
设x是?下的一个非自共轭点，则x的极线?是非自共轭直线
如果?上没有非自共轭点，可在?上任取一点y，求得y的极线?，若????z，则xyz就是自极三点形。
如果?上有两个自共轭点b,c.则在?上任取一不同于b和c的一点y，再求的y极线?,，若????z，则xyz就是自极三点形。
3.1 试写出通过坐标三点形的顶点的圆锥曲线在点坐标系里和线坐标系里的方程。 解:设圆锥曲线c在点坐标系里的方程是：
22a11x12?a22x2?a33x3?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3?0
把d1(1,0,0)，d2(0,1,0)，d3(0,0,1)的坐标依次带入方程，得到a11?0，a22?0a33?0，因此圆锥曲线在点坐标系里的方程是
a12x1x2?a13x1x3?a23x2x3?0
?0????x确定这个圆锥曲线的配极变换是：?a1?a?10aik?a12a13a120a23a13a23?2a12a13a23?0 02a13a232?a13a12a13a12a23??a12a13?
2??a12?a12320a??1a?a? 23?203?2??a23??x???a13a23诱导变换是
?a12a23?所以圆锥曲线在线坐标系里的方程是：
222222a23?1?a13?2?a12?3?2a13a23?1?2?2a12a23?1?3?2a12a13?1?3?0
2223.2 试确定圆锥曲线x1?x2?x3?0的配极变换；把直线??(1,0,2)上的点划分为无切线
点和两切线点两部分；试求通过一个两切线点的切线；验证这个点的极线交于一个无切线点。
?100???222解：确定圆锥曲线x1?x2?x3?0的配极变换是???x0?10
???00?1???222??x?x2?x3?0直线??(1,0,2)的方程是x1?2x3?0，解方程组：?
x?2x?0?3?1得?到圆锥曲线的交点：y?(?2,3,1),Z(?2,?3,1) 若x是直线?上任意一点，则
x?y??z?(?2,3,1)??(?2,?3,1)?(?2(1??),3(1??),1??)
这里?是参数，可取任意实数或?，由此可求得x的极线
??x??(2(1??),3(1??,1??))
圆锥曲线与直线?联立，得方程组：
222??x1?x2?x3?0(1) ???2(1??)x1?3(1??)x2?(1??)x3?0如果方程线(1)有非零实数解，则?与曲线有两个交点，交点与x的连线便是由x向曲线所做的切线，所作x是两切线点。如果方程组(1)无非零实数解，则?与曲线没有交点因而x是无切线点。
为了解方程组，设???1消去x3,得：
43(1??)1??2?2?3x?x1x2??1?3()?x2?0 （2）
1??1????21x1,x2不全为零（否则x1?x2?x3?0，应除开）。可设x2?0，于是（2）是关于
次方程，判别式
x1的二x2?(23(1??)21??2??12?? )?3?1?3()??21??1???(1??)?当?????0时，?0,（2）由两组实数解，点x是两切线点；
当0????,?0,（2）无实数解，x是无切线点。所以，直线?上的点，可划分为两部分，分别表示如下：
?无切线点，若0????,x?(?2,3,1)??(?2,?3,1)?? （3）
?两切线点，若?????0。当?=-1时，x=y-z(0,1,0)，它的极线是x2=0，此极线与圆锥曲线相交于点：??(1,0,1)??和?=(1,0,-1)，通过y，z的两条切线的坐标是x?????(1,0,?1)，x?????(1,0,1)，
它们的方程是：x1?x3?0和
x1?x3?0
最后，求y?z?(0,1,0)的极线x2?0，与直线?:x1?2x3?0的交点，得到x??(2,0,?1)
)?(?2,?3,1)在(3)式中，令??1，则x?(?2,3,1(2,0,?1)?，x'x所以x是无切线
点。为了验证这个结论的正确性，我们写出通过点x'的任意直线?的坐标：??(1,k,2)，圆锥曲线与直线?构成方程组：
222??x1?x2?x3?0 (4) ?x?kx?x?0?23?1222消去x1，得(k?1)x2?4kx2x3?3x3?0
判别式??(2k)?3(k?1)?k?3?0，?与圆锥曲线总有两个（实）交点，?是曲线的割线，所以x?是无切线点。 3.3 求从y22?x3?0所引的切线 (4,3,0)向2x12?4x2222答：坐标为(6,?8,34)和(6,?8,?34)
4.1 求通过点 (1,0,、1)(0,1,1)、(0,?1,1) 且以x1?x3?0和x2?x3?0为切线的圆锥曲线方程
222答：x1?x2?x3?0
4.2 如果把圆锥曲线C的四个定点与C的一个流动点连成直线，则这四条直线的交比是常数，写出对偶命题。
证明：设ai，i?1,2,3,4是圆锥曲线C上的四个定点，x和x?是C上流动的两个任意位置，令?i?x?ai，?i??x??ai，i?1,2,3,4 由斯丹纳定理，线束x线束x?
?,?2?;?3?,?4?)?常数 所以R(?1,?2;?3,?4)?R(?1 对偶命题：如果属于线圆锥曲线C的四条定直线与属于C的一条流动直线相交于四个点，则这个四个点的交比是一个常数。
4.3 已知三点形的两个顶点b和c分别在这两条不动的直线?和?上滑动，三条边分别通过三个不动点x，y和z。x，y，z不共线，试求这三个点形的顶点a的轨迹。 解：当三点形的顶点b 和c 分别在直线?和?上滑动时，它的边b?c，c?a 和a?b 分
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