别以点x，y和z为中心画出三个线束，而且 线束y?线束x?线束z。
????所以，线束y? 线束z。
这两个线束对应直线的交点c?y和b?z的交点就是三点形的顶点a。
如果线束y和线束z的公共直线y?z自对应，必须c?，y，z，b? 共线，但x 在b??c? 上，于是x，y和z共线 ，这与x，y，z不共线的假设矛盾。所以射线的线束y与线束z不透视，由斯丹纳定理，点a的轨迹是圆锥曲线，如图26。
4.4 已知圆锥曲线上四个点和其中一个点上的切线，求作另一个点上的切线。 解：设a，b，c，d是圆锥曲线上的四个点，a是点b上的切线。 当圆锥曲线内接六点形的一条边上的两个顶点重合时，该边成为一条切线，此时巴斯加定理仍然正确。现在把b 和d 分别看做重合的两个项点，编号：a(1) ，b(2,3)，c(4)，d(5,6)。 作 12?45?(a?b)(c?d)?a0，34?61?(b?c)?(d?a)?c0，a?(a0?c0)?b0， 连结b0?d，则直线b0?d就是d点上的切线。如图27 。 4.5 证明巴普斯定理是关于退化的点圆锥曲线的巴斯加定理。
解：巴普斯定理:我们把两天直线?和??看做退化的点圆锥曲线，a，b，c 就是六点形123456三对对边的交点，由巴斯加定理，这三点共线。如图 28 4.6 试述关于退化的线圆锥曲线的布利安桑定理。
答：若通过点x和x?各有三条直线1，3，5 和 2，4，6，每一条直线都不同于x?x?，则三条直线??12?45，??23?56，??34?61共点。
把两线束x 和x?看作退化的线圆锥曲线，而123456是它的外切六线形，?，?和?是这六线形三对对顶点的连线，由布利安桑定理，?、?、? 共点b。如图 29
4.7 如果一个六点形H1内接于圆锥曲线C，而H2 是C的外接六线形，H2的边是H1的顶点上关于圆锥曲线C的切线，则H1的巴斯加线是H2的布利安桑点的极线。
证明：设六点H1 的顶点a1，a2，a3，a4，a5，a6，H2， 的边是a1，a2，a3，a4，
a5，a6，而?i是C在ai的切线，即C的极线，由配极原则a1?a2的极点是?1??2，a3?a4的极点是?3??4，于是点a?(a1?a2)?(a4?a5)的极线是??(?1??2)?(?4??5)，同理，
b?(a2?a3)? (a5?a6)
和c?(a3?a4)?(a6?a1)的极线??(?2??3)?(?5??6)和??(?3??4)?(?6??1)，由巴斯加定理，a，b，c 共线号，那么? 的极点应在a，b，c 的极线?，?，? 上，即这三条极线的公共点，而?，?，? 的公共点是布利安桑点P ， 所以巴斯加线?的极点是布利安桑点。
5.1 已知平面到它自身的配极变换?：
?12?1??11?1???????x?201和平面?的直射变换?：?x??x012试求直射?对?的配
??????113??201?????极变换?诱导出来的平面?到它自身的配极变换??????。
?1?1?13???3?2? 解：??1：??x?x??4??221????14?2???2? ?的线坐标方程为：???????13?3?21????????1??：
?1?13??12?1??14?2??????????x??43?2201?132??????
??221???113??3?21????????12?1525???就是 ????x??1580?19?
?25?19?1????91035????x?????10133??
?353?15??? 5.2 设平面上有两个圆锥曲线C 和C?：
22?2?x2?2?x3?2?0 试求平面?的一个直射?，使C??C?。 C:x12?x2?x3?0 C?:x1解：在C上取点a?(1,0,1)，b?(1,0,?1)，c?(1,1,0) 在C?上取点a??(1,0,?1)，b??(2,1,0)，c??(1,1,0)
在C上作a和b上的切线：??(1,0,?1)和??(1,0,1)，再作C?上在a? 和b?上的切线：
???(1,0,1)和???(1,?2,0)，d?????(0,1,0),d????????(2,1,?2)
由a，b，c，d?a?，b?，c?，d?确定直射变换?:
?31?1???x??x??212??就是所求的直射。
??1?1?1???z 和三条不共点的直线?， 5.3 已知桑格不共线的点x，?，? 试作一个三点形abc，y，
使它的顶点依次在直线?，?，?上，三边b?c，c?a，a?b依次通过点xy，z。 解：设a?是?上三点形abc的顶点a的任意一个位置，因a??b?通过点z，所以顶点b的一个位置b?应是a??z与?的交点；同理，顶点c的一个位置c?应是b??x与?的交点；令
c??y交直线?于a??，当且仅当a??a?时，三点形a?b?c?才满足条件。按照这个作法，当
顶点a在直线?上移动时，可得点列?(a?)，顶点b则在?上画出点列?(b?)；顶点c在?上画出点列?(c?)；c??y与?的交点a??画出点列?(a??)
)?(a?)??(b?)??c(??)?a(?????ZXv ∴?(a?)??(a??) 因此，当a??a? 时，a?是两个同底?的射影点列?(a?)和?(a??)的二重点，于是只要能作
出这个二重点，便能作出满足条件的三点形，由此的作法如下：如图31
?，a1??z交?于b1?，b1??x交?于c1?，c1??y交?于a1??。同样的方 1.在?上任取一点a1?，a3?作出a2??，a3??；使a1??a1??，a2??a2??，a3??a3??，这三对对应点法在?上取的点a2?,a2?,a3?……)??(a1??,a2??,a3??……) 完全确定直线?到它自身上的射影对应?：?(a1 2.利用§5.3 例2 的方法，作?的二重点。
讨论：因为直线到它自身上的射影变换?可能有两个二重点；一个重点或者没有二重点三中情况，所以，本体可能有二解，一解或无解。
5.4 已知圆锥曲线C和C上的一个对合?由两对彼此对应的点对a，a?和b，b?所确定。求作C上对合?的透视轴和中心
作法： 1.作点u?(a?b?)?(a??b)，v?(a?b)?(a??b?) 2.作直线??u?v，则?在c上?的透视轴
3.作点W?(a?a?)?(b?b?)，则W是?的极点，所以，W是?的透视中心。图32
5.5 条件同(5.4) 题，求作C上另一个已知点d的对应点。
作法：1.如前题所做透视轴?。2. 作点d0?(a?d)??，再作d0?a?交C于点d?，则d?就是所求的点。图 33
5.6 设a,a?和b,b?是圆锥曲线上对合的两对对应点，m和n是两个二重点，那么m与
n，a与b，a?与b?是另一对合的三对对应点。
证明：在圆锥曲线C上任取一点x,x与三对已知点均不同，设x?m??，x?n??，
x?a??，x?a????，x?b??，x?b????，则
R??,?;?,???=R??,?;?,???=-1
因而R??,?;?,???=R??,?;?,??? 所以C?m,n;a,a???C?n,m;b,b??
这个对应里，m和n彼此对应，因而是一个对合，它的另两对对应点是a与b，a?与b?。
6.1 试求通过点r=(1,2,1),s=（-1,2,1),t=（2,0,1)而与直线?：x2?3x3?0相切与点a=(0,3,1)的圆锥曲线的方程。
222答：6x1?x2?24x3?11x2x3?0
6.2 试求属于直线??(0,1,1)，??(1,0,1)，e?(1,1,1)，??(1,1,0)，??(2,6,5)的线圆锥曲线方程。
222答：3?1??2?4?1?4?1?2??1?3?3?2?3?0
习题五
1.1 如果a，b，c与a?,b?,c?是仿射平面上的不共线的两个三点组，则有唯一的仿射变换把a，b，c变为a?,b?,c?。
证明：设三点形abc的边b?c,c?a,a?b依次交无穷远直线?于a?,b?,c?，三点
a?,b?,c?的对应边交?于a??,b??,c??。那么无穷远直线?到它自身上有且仅有一个射影变换??，使得a??a??,b??b??,c??c??，设d?和d??是这个射影变换?的一对对应点且这
两点中的任一点都不同于a?,b?,c?,a??,b??,c??，那么a,b,c,d?和a?,b?,c?,d??是两个四角形
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