a,b,c,d??a?,b?,c?,d??。 点集，所以，有且仅有一个直射变换（平面?到它自身）使得：?，
然而直射变换?保持直线?不变，由仿射变换的第一种定义，?是惟一的仿射变换，使得a,b,c?a?,b?,c?。
1.2 如果在两个射影对应的线束里有三对对应直线是平行的，则所有的对应直线都是平
行的。
证明：设线束a（?,?,?…）?线束a（??,??,??…） 且?//??,?//??,?//??
那么这三对平行线的交点都在无穷远直线?上，令?????a?，?????b?，?????c?，如果?和??是这两个摄影线束中任一一对对应直线，但与三对已知平行直线不相同，那么
?，则 R(?,?;?,?)?R(??,??;??,??)，若?和??分别交?于d?和d?R(?,?;?,?)?R(a?,b?;c?,d?) R(??,??;??,??)?R(a?,b?;c?,d?)
?R(a?,b?;c?,d?)?R(a?,b?;c?,d??),?d?)?d??
1.3 如果两个三角形的对应边的互相平行，则对应顶点的联线共点或互相平行，举出
着两种情况的例子。
证明：设三角形abc和a?b?c?中，b?c与b??c?；c?a与c??a?；a?b与a??b?互相平行，那么这三对对应的交点都在无穷远直线上，由笛沙格定理，对应点的连线a?a?，b?b?，c?c?共点S。如图34。若S是无穷远点，则a?a?，b?b?，c?c?互相平行，若S是普通点，则此三直线共点。如图35。
1.4 平行四边形的对角线交于每一条对角线上的两个顶点的仿射中心。
证明：设abcd是平行四边形，两条对角线a?c和b?c交于点g。因为两组对边互相平行，所以它们的交点都在无穷远直线?上，把abcd看做完全四点形，则?是它的一条对角线，a?c和b?d则是完全四点形的一对对边，若它们依次交?于点f?和k?，则
r(g,f?;a,c)??1
从而可适当选择g和f?的表示方法，使
a?g?f?
则 c?g?f?
11?g?(a?c)，同理 g?(b?d)
221.5 叙述并证明下述定理的仿射形式：“三角形的中线交于一点，这个点分每一条中线
（线段）于1:2”。
解：三角形任意两顶点的仿射中心与第三个顶点的连线称为放射中线，利用这个定义可把题目指出的定理的仿射形式叙述如下：
1”。 3证明：设三角形abc的三边b?c，c?a，a?b上两个顶点的仿射中心是a?、b?、c?。
111则a??(b?c) b??(c?a) c??(a?b)
2221在a?a?上取一点g1，使得A(a?,a,g1)?
3111则 g1??a??a?(a?b?c)
333“三角形的三条仿射中线相交于一点g，每一条仿射中线上三个点的仿射比等于同样，在b?b?和c?c?上各取一点g2和g3，则
11g2?(a?b?c) g3?(a?b?c)
3311若g?(a?b?c)，则g1g2g3g?(a?b?c)
331.6已知圆锥曲线的射影方程为x1x2?x1x3?4x2x3?0试求中心的仿射坐标，渐近线的方程（如果中心和渐进线存在）以及通过点a(1,0,1)的直径和它的共轭直径。
答：中心的仿射坐标为(?1,1)
渐近线的仿射方程式x2?1?0和x1?1?0
通过a(1,0,1)的直径坐标为a?c?(?1,?2,1)，仿射坐标为x1?2x2?1?0，它的共轭直径为(1,?2,3)，所以共轭直径的仿射方程为
2.1
抛物线的任何两条切线都不平行。
12x1?x2?1?0。 33证：设抛物线有两条切线?和?，?/?，那么?,?都不同于无穷远直线?，（因
为仿射平面上不包含无穷远直线?）。若?//?,那么????a必在无穷远直线?上。仿射平面上，必是抛物线的切线，于是通过a有三条?,?和?与抛物线相切，这是不可能的，所以?不平行于?。
2.2 如果一个六角形内接于一个圆锥曲线并有两对对边互相平行，则第三对对边也互相平行。
证明：圆锥曲线内接六角形的三对对边共线，如果有两对平行，则它们的交点是无穷远点，所以这一条巴斯加是无穷远直线?，因而第三对对边的交点是?上的一个点（无穷远点），所以，它们互相平行。
2.3 如果平行四边形切于一个有心圆锥曲线，则对角线是圆锥曲线的共轭直径。
?是有心圆锥曲线C的外切平行四边形，各边上的切点为e,g,f,h，证明：设aa?bbu?(a?a?)?(b?b?)，v?(a?b?)?(a??b)，u和v在无穷远直线?上，?关于C的极点
是Z,Z就是C的中心，再设(f?g)?(e?h)?r
s?(h?g)?(e?f)
应用巴斯加定理于C的内接四角形efgh得u,v,r,s共线，所以r,s在?上，从而断定lfgh是
C的内接平行四边形，而且这个平行四边形的中心也是z，即z?(e?g)?(h?f)。
因a是e?h的极点，b是f?g的极点，所以a?b是r的极线，另外，由作已知直线的极点的方法，可知z?s也是r的极线，因此，a,b,z,s共线。同理，a?,b?,z,r共线。这就是说，a?b和a??b?都通过C的中心z，又由于它们是C的内接完全四点形的两条对角
线，它们是共轭的，所以a?b和a??b?是C的共轭直径。
2.4 如果双曲线的一条切线渐进线于a和a?，则分别通过a和a?的两条平行线必定共轭。
证明：设z是双曲线的中心，则无穷远直线?是z的极点，?与??是C的渐近线，它们通过z而且分别与C相切与点p和q，又b是C上任一点，C在b点上的切线?和?,??相交于a和a?。如图38
在线束a和线束a?之间建立直线的对应：是线束a的每一个条直线对应于a?里与它配极共轭的直线。线束a和线束a?的对应是射影的。这是因为线束a的每一个调和直线集中直线的极点成调和点列。而线束a?里经过这个点列中各点的直线必调和直线集。线束a的每个调和直线集对应于线束a?的调和直线集。所以线束a和a?是射影的。而且容易看出，它们的公共直线a?a?自对应，所以它们还是透视的。
即线束a?线束a?
现在求线束a与a?的透视轴。 事实上 a?z?a??p(p是a?z的极点)
a?q?a??z(q是a?z的极点)
?p?q??就是线束a与a?的透视轴。通过a和a?的两条平行线的交点r必在?上，
因而，而平行直线a?r和a??r是线束a与a?的一对对应直线，所以它们是共轭的。
2.5 如果双曲线的弦s(a,b)交渐近线于p和q，则A(p,q,b)?A(q,p,a)，图39 证明：设双曲线中心z?d3两渐近线?1,?2，切点分别为d2和d1，于是C的仿射方程为x1x2?1
在C上取任意两点，a?(m,1,1) m1b?(n,,1)，则
n??a?b?(1,mn,?(m?n))；
p????2?(m?n,0,1) q????1?(0,m?n,mn)
于是A?p,q,b??n??m?n?m?
0??m?n?m?nm?0m?
?m?n??0m?n
A?q,p,a??
?A?p,q,b??A?q,p,a?
222.6 证明 x1?3x1x2?4x2?2x1?10x2?0是双曲线，试求一个仿射变换把它变为形式
x1?x2?1。
证明：??1???4??9?13?0，所以这个曲线是双曲线。
??14x?x1??125 （1） 先作平移变换 ?26?y1?y1??25??2???2144?0 原方程化为x1?3x1x2?4x2?（2） 25
?25?13??5?5?5?（2）可写作?x2????x1?x2???1
12??12812??2422
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