高考数学二轮复习 第八章 立体几何 直线、平面平行的判定和性质 理(含试题)

【科学备考】（新课标）2015高考数学二轮复习 第八章 立体几何 直

线、平面平行的判定和性质 理（含2014试题）

理数

1. (2014江西七校高三上学期第一次联考, 7) 已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出⊥的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且⊥ D. 且 [答案] 1. C

[解析] 1. 对选项A，与平行或相交；对选项B，与平行或相交；选项C正确；选项D，与平行或相交. 故选C.

2. (2014湖北,19,12分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2). (Ⅰ)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;

(Ⅱ)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

[答案] 2.查看解析

[解析] 2.解法一:(几何方法)

(Ⅰ)证明:如图1,连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1. 当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点, 所以FP∥AD1. 所以BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.

(Ⅱ)如图2,连结BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,

所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,

所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,

从而EF∥PQ,且EF=PQ.

1

在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1, 于是EQ=FP=

,所以四边形EFPQ是等腰梯形.

同理可证四边形PQMN是等腰梯形.

分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连结OH,OG, 则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,

故∠GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.

若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°. 连结EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN,知四边形EFNM是平行四边形. 连结GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.

在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,

OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,

由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,

解得λ=1±,

故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.

解法二:(向量方法)

以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz.

由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).

=(-2,0,2),

=(-1,0,λ),

=(1,1,0).

(Ⅰ)证明:当λ=1时,因为

=(-2,0,2),所以

=(-1,0,1),

=2

,即BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ, 故直线BC1∥平面EFPQ.

(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),

则由可得于是可取n=(λ,-λ,1). 同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).

若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角, 则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,

2

即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.

故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.

3.(2014江苏,16,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线PA∥平面DEF; (2)平面BDE⊥平面ABC.

[答案] 3.查看解析

[解析] 3.(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA. 又因为PA?平面DEF,DE?平面DEF, 所以直线PA∥平面DEF.

(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=又因为DF=5,故DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90°,即DE⊥EF. 又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.

因为AC∩EF=E,AC?平面ABC,EF?平面ABC, 所以DE⊥平面ABC. 又DE?平面BDE,

所以平面BDE⊥平面ABC.

PA=3,EF=BC=4.

4.(2014山东,17,12分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点. (Ⅰ)求证:C1M∥平面A1ADD1;

(Ⅱ)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=余弦值.

,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的

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