高二数学练习11理答案

高二数学练习11理

一、选择题

1．已知直线a、b和平面M，则a//b的一个必要不充分条件是（D） A．a//M, b//M B．a⊥M，b⊥M

C．a//M, b?M D．a、b与平面M成等角

2．正四面体P—ABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为（B）

A．

3 2B．

3 6C．

3 4D．

3 33．a, b是异面直线，A、B∈a, C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角为（B） A．30° B．60° C．90° D．45° 4．给出下面四个命题：

①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交； ②“直线l垂直于平面?内所有直线”的充要条件是：l⊥平面?；

③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面?内的射影”；

④“直线a∥平面?”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面?内的一条直线”． 其中正确命题的个数是（B）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．设l1 、l2为两条直线，a、β为两个平面，给出下列四个命题： (1)若l1??, l2??，l1∥β，l1∥a则a∥β. (2)若l1⊥a ，l2⊥a，则l1∥l2 (3)若

l1∥a，l1∥l2，则l2∥a (4)若a⊥β，l1??，则l1⊥β 其中，正确命题的个数是（B）

A1 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1B1B?底面ABC， 直线A1C与底面成60?角，AB?BC?CA?2， AA1?A1B，则该棱柱的体积为（B） A A．43 B．33 C．4 D．3

C

7．已知直线l⊥面α，直线m?面β，给出下列命题：

B1

C1

B

（1）?//??l?m （2）????l//m （3）l//m???? （4）l?m??//? H G 其中正确的命题个数是（B）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B A 8．正三棱锥S?ABC的底面边长为a，侧棱长为b，那么经过底 E F C 边AC和BC的中点且平行于侧棱SC的截面EFGH的面积为（C）

abab2

A. ab B. C. D. ab

242

9．已知平面α、β、γ，直线l、m，且l?m,???,????m,????l，给出下列四个结论：①???；

②l??；③m??；④???.则其中正确的个数是（C） A．0 B．1 C．2 D．3 D1 10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是底面ABCD A1 的中心，P是棱A1B1上任意一点，则直线OP与支线AM所成角

M 的大小为（B）

A.45o B.90o C.60o D.不能确D 定 11．将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得点A到点A’的位O

置，且A’C＝1，则折起后二面角A’－DC－B的大小为（C） A

??2A.arctan B. C.arctan2 D.

243S

12. 正方体ABCD?A1B1C1D1，E、F分别是AA1、CC1的中点，P是CC1上的动点（包括端点），

过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是（C） A. 线段C1F B. 线段CF

C. 线段CF和一点C1 D. 线段C1F和一点C 二、填空题

13．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D

—AC—B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为

21 . 714．将棱长为1的正方体木块加工成一个体积最大的球，则这个球的体积为 面积为 ? （不计损耗）. 15. 直二面角α—MN—β中，等腰直角三角形ABC的斜边BC?α，一直

角边AC?β，BC与β所成角的正弦值是

6，则AB与β所成角大4? ，球的表6小为__________。

16. 四面体ABCD中，有如下命题：

①若AC⊥BD，AB⊥CD，则AD⊥BC；

②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小； ③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在面ABD上的射影是△ABD的外心 ④若四个面是全等的三角形，则ABCD为正四面体。

其中正确的是：___①③____。（填上所有正确命题的序号） 三、解答题

17．已知长方体AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连结B1C，

过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F. （1）求证A1C⊥平面EBD； （2）求点A到平面A1B1C的距离；

（3）求平面A1B1CD与直线DE所成角的正弦值.

解：（1）连结AC，则AC⊥BD

∵AC是A1C在平面ABCD内的射影∴A1C⊥BD；

又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE， ?A1C?BE又?BD?BE?B?A1C?面EBD

（2）易证：AB//平面A1B1C，所以点B到平面A1B1C的距离等于点A到平面A1B1C的距离，又BF⊥平面A1B1C， ∴所求距离即为BF?2?122?12?25. 5（3）连结DF，A1D，?EF?B1C,EF?A1C

EF?面A1B1C，∴∠EDF即为ED与平面A1B1C所成的角. 由条件AB=BC=1，BB1=2，可知B1C?5，

BF?FC?BB11FC?BF525455?,EC??. ,B1F?,CF?, EF?B1F10B1F2555?ED?EC2?CD2?5.2?sin?EDF?EF1?. ED518．在棱长AB=AD=2，AA’=3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点。

(1)试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F。 D1 A1 (2)求二面角B1－AF－B的大小。

C1 B1

AD解：(1)建立空间直角坐标系，如图

A(0，0，0)，F(1，2，0)，B1(2，0，3)，D1(0，2，3)，

设E(2，y，z)

?D1E?(2,y?2,z?3)，AF?(1,2,0)，AB1?(2,0,3)

??DE?AF?0由D1E⊥平面AB1F??1，即

??D1E?AB1?0

?y?1?2?2(y?2)?0?5??5 ∴E(2，1，)为所求。 ?z?3?4?3(z?3)?0?3?4(2)当D1E⊥平面AB1F时，D1E?(2,?1,?)，B1B?(0,0,?3)

3又B1B与D1E分别是平面BEF与平面B1EF的法向量，则

二面角B1-AF-B的平面角等于。 ∵cos=

4?3(?)34322?1?(?)23?461 61∴B1-AF-B的平面角为arccos35461 或用传统法做(略) (arctan) 61419．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱A1B1C1?ABC中，D、E分别是棱BC、CC1的中点，

C1AB?AA1?2。

A1（Ⅰ）证明：BE?AB1；（Ⅱ）求二面角B?AB1?D的大小。 B1解：如图建立空间直角坐标系，则 E （Ⅰ）证明：因为B(?1,0,0)，E(1,0,1)，

A(0,3,0)，B1(?1,0,2)，

C?????????所以BE?(2,0,1)，AB1?(?1,?3,2)，故 AD????????BE?AB1?2?(?1)?0?(?3)?1?2?0，

B因此，有BE?AB1；

???（Ⅱ）设n1?(x,y,z)是平面ABB1的法向量， z因为AB1?(?1,?3,2)，

A1B1Ex?????C1????BB1?(0,0,2)，所以由

yABDC??????????????????????n1?AB1?n1?AB1??x?3y?2z?0?可取n1?(3,?1,0)； ????????????????????n1?BB1?n1?BB1?2z?0???同理，n2?(2,0,1)是平面AB1D的法向量。

设二面角B?AB1?D的平面角为?，则

????????????|n1?n2|1515??????。 cos??|cos?n1,n2?|?????arccos55|n1|?|n2|20．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，

BC?AA1?4，AC?3，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点。 （1）在棱BB1上求一点P，使CP⊥BD；

（2）在（1）的条件下，求DP与面BB1C1C所成的角的大小。 解法一：（1）如图建立空间直角坐标系

? 设P?4，0，z?，则CP??4，0，z?

??3??3?0，0?，D?2，，4?得：BD???2，， 由B?4，4?

2??2???? 由CP⊥BD，得：CP·BD?0 ?z?2

所以点P为BB1的中点时，有CP⊥BD

（2）过D作DE⊥B1C1，垂足为E， 易知E为D在平面BC1上的射影， ∴∠DPE为DP与平面BC1所成的角

??32????4?得：PD???2，， 由（1），P（4，0，z），D?2，，2?

??32?∵E(2,0,4)，∴PE?(?2,0,2)。PD?PE?|PD|?|PEcos?DPE，

482482，∴?DPE?arccos。 4141482 即DP与面BB1C1C所成的角的大小为arccos。

41∴cos?DPE?解法二：取B1C1的中点E，连接BE、DE。 显然DE⊥平面BC1

∴BE为BD在面BC1内的射影，若P是BB1上一点且CP⊥BD，则必有CP⊥BE ∵四边形BCC1B1为正方形，E是B1C1的中点 ∴点P是BB1的中点， ∴BB1的中点即为所求的点P （2）连接DE，则DE⊥B1C1，垂足为E，连接PE、DP ??DPE为DP与平面BC1所成的角

3 由（1）和题意知：DE?,PE?22

2 tan?DPE?DE3232?,??DPE?arctanPE88

32 8 即DP与面BB1C1C所成的角的大小为arctan21．如图，三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=42，点E，点F分别

是PC，AP的中点.

（1）求证：侧面PAC⊥侧面PBC； P

（2）求异面直线AE与BF所成的角； E

F C A B （3）求二面角A—BE—F的平面角.

解：（1）∵PB⊥平面ABC，∴平面PBC⊥平面ABC，

又∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面PBC

∴侧面PAC⊥侧面PBC.

（2）以BP所在直线为z轴，CB所在直线y轴，

建立空间直角坐标系，由条件可设

P(0,0,42),B(0,0,0),C(0,?42,0),A(42,?42,0)则E(0,?22,22),F(22,?22,22)AE?(?42,22,22),BF?(22,?22,22),?AE?BF??16,|AE|?|BF|?242,

?cos?AE,BF???22,?AE与BF所成的角是arccos33

（3）平面EFB的法向量a=(0,1,1)，平面ABE的法向量为b=（1，1，1）

cos?a,b??

6, 3