2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练：(五) 量词 Word版含解析

课时跟踪训练(五) 量 词

1．下列命题： ①有的质数是偶数；

②与同一平面所成的角相等的两条直线平行； ③有的三角形的三个内角成等差数列； ④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，

其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号) 2．下列命题中的假命题是________． ①?x∈R,2x－

1>0； ②?x∈N*，(x－1)2>0； ③?x∈R，lg x<1； ④?x∈R，tan x＝2.

3．用符号“?”或“?”表示下面含有量词的命题： (1)

实

数

的

平

方

大

于

或

等

于

0

_________________________________________________；

(2)存在一对实数，使3x－2y＋1≥0成立： ________________________________. 4．命题“?x∈R＋

，2x＋1x＞a成立”是真命题，则a的取值范围是________．

5．已知“?x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假： (1)对任意x∈R，zx＞0(z>0)；

(2)对任意非零实数x1，x2，若x1＜x2，则11

x1>x2；

(3)?α∈R，使得sin(α＋π

3)＝sin α；

(4)?x∈R，使得x2＋1＝0.

7．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)?x∈R，都有x2－x＋1>1

2

；

(2)?α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β；

：

(3)?x，y∈N，都有(x－y)∈N； (4)?x，y∈Z，使2x＋y＝3.

8．(1)对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围； (2)存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围．

答 案

1．解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题． 答案：②④ ①③

2．解析：对②，x＝1时，(1－1)2＝0，∴②假． 答案：②

3．(1)?x∈R，x2≥0

(2)?x∈R，y∈R,3x－2y＋1≥0

1

4．解析：∵x∈R＋，∴2x＋≥22，∵命题为真，∴a＜22.

x答案：(－∞，22)

5．解析：当a＝0时，不等式为1>0，对?x∈R,1>0成立．当a≠0时，若?x∈R，ax2

??a>0，

＋2ax＋1>0，则?解得0

2

?Δ＝4a－4a<0，?

答案：[0,1)

6．解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． (1)∵zx＞0(z>0)恒成立， ∴命题(1)是真命题．

11

(2)存在x1＝－1，x2＝1，x1＜x2，但<，

x1x2∴命题(2)是假命题．

ππ

(3)当α＝时，sin(α＋)＝sin α成立，

33∴命题(3)为真命题．

(4)对任意x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题．

1331

x－?2＋≥>，所以该命题是真命题． 7．解：(1)法一：当x∈R时，x2－x＋1＝??2?4421111

法二：x2－x＋1>?x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>的2222解集是R，所以该命题是真命题．

ππ?ππππ2

－＝cos?－?＝cos ＝，cos α－cos β＝cos (2)当α＝，β＝时，cos(α－β)＝cos??42??4?4242ππ22

－cos ＝－0＝，此时cos (α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题． 4222

(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2?N，所以该命题是假命题．

(4)当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，即?x，y∈Z，使2x＋y＝3，所以该命题是真命题． 8．解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R. π

∵y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)≥－2.

4又∵?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立． ∴只要m<－2即可．

∴所求m的取值范围是(－∞，－2)． (1)令y＝sin x＋cos x，x∈R.

π

∵y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)∈[－2，2 ]，

4又∵?x∈R，sin x＋cos x>m有解． ∴只要m<2即可．

∴所求m的取值范围是(－∞，2)．