当a?0时, f(x)在(??,0)，(2a,??)上为增函数，在(0,2a)为减函数． （2）a?10 3【解析】 【分析】
(1)求导后,对a 分三种情况讨论可得;
(2)利用第(1)问的单调性分三种情况,求得函数的最小值与已知最小值相等,列式可解得a. 【详解】（1）f?(x)?3x?6ax?3x(x?2a) ，
2当a?0时，则f?(x)?3x?0，所以f(x)在R上为增函数；
2当a?0时，2a?0，所以f(x)在(??,2a)，(0,??)上为增函数，在(2a,0)上为减函数； 当a?0时，2a?0，所以f(x)在(??,0)，(2a,??)上为增函数，在(0,2a)为减函数． （2）由（1）知，当a?0时，f(x)在[0,2]上为增函数，所以f(x)min?f(0)?0，与题意矛盾；
当a?0时，f(x)在(0,??)上为增函数，所以f(x)min?f(0)?0，与题意矛盾； 当0?a?1时，f(x)在(0,2a)上为减函数，在(2a,2)上为增函数，所以
f(x)min?f(2a)??32，解得a?2，与0?a?1矛盾；
当a?1时，f(x)在[0,2]上为减函数，所以f(x)min?f(2)??32，解得a?综上可知a?10，满足题意． 310． 3【点睛】本题考查了分类讨论,利用导数研究函数的单调性,利用导数求函数的最值,属难题,
13ex2220.已知命题p：函数f(x)?x?x?(5?a)x?a是R上的增函数；命题q：函数g(x)?3x在[a,??)上单调递增，若“p?(?q)”为真命题，“(?p)?q”也为真命题，求a的取值范围．
【答案】a?(??,?2)U[1,2] 【解析】
- 13 -
【分析】
利用导数得到p,q都为真命题时a的范围,再将“p?(?q)”为真命题，“(?p)?q”也为真命题,转化为p,q 同真或同假可得.
22a2． 0，??4?4(5?a2)?0，?2剟【详解】若p为真命题，f?(x)?x?2x?5?a…(x?1)exex1． 若q为真命题，g?(x)?，故g(x)?在[1,??)上递增，a…2xx由己知可得若p为真命题，则q也为真命题；若p为假命题，则q也为假命题，
a2；同假时，a??2，故a?(??,?2)U[1,2]． 当p，q同真时，1剟【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及复合命题的真假.属中档题.
21.已知函数f(x)?e?ax?a?2．
（1）若a?0，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处
切线方程；
x2，求实数a的取值范围. （2）当x?0时，f(x)…【答案】（1）y?ex?2（2）[?1,0] 【解析】 【分析】
(1)当a?0 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程;
2恒成立转化为ex?ax?a…(2)当x?0 时,将f(x)…0恒成立,由x?0 使不等式成立得到
a??1,然后构造函数h(x)?ex?ax?a求导,对a分三种情况讨论可得.
x【详解】（1）当a?0时，f(x)?e?2，f(1)?e?2．
f?(x)?ex，f?(1)?e，∴切线方程为y?(e?2)?e(x?1)，即y?ex?2．
x0，（2）当x?0时，ex?ax?a?2…2，即ex?ax?a…0，令h(x)?e?ax?a，则h(0)…a…?1，
当a?0时，h(x)?e?0，满足题意；
xx当a?0时，h?(x)?e?a?0，∴h(x)在(??,0]上递增，由y?e与y??a(x?1)的图
x的
- 14 -
0在(??,0]上不恒成立； 像可得h(x)…x当?1?a?0时，由h?(x)?e?a?0解得x?ln(?a)，当x?ln(?a)时，h?(x)?0，当
ln(?a)?x?0时，h?(x)?0，∴h(x)在(??,0]上的最小值为h(ln(?a))，0，解得?1?a?0． ∴h(ln(?a))?aln(?a)…综上可得实数a的取值范围是[?1,0]．
【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题.
22.已知函数f(x)?lnx?ax?1,a?R． （1）若f(x)有两个零点，求a的取值范围；
（2）设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，直线AB的斜率为k，若x1?x2?k?0恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）(0,1)（2）(??,22] 【解析】 【分析】 (1)求导得f?(x)?1?a,当a?0时,可得f(x)在(0,??)上是增函数，不可能有两个零点, x1a当a?0时,利用导数可以求得函数f(x)在定义域内的最大值为f(),由f()?ln1a1?0，a解得0?a?1.然后根据f()?0,f()?0 得到f(x)在(,)上有1个零点；根据
21e21ef()?0,f(2)?0,得到f(x)在(,2)上有1个零点,可得a的取值范围. aaaa1a1e11ea2lnx2?x2?ax2?lnx1?x12?ax1?0,即(2)利用斜率公式将x1?x2?k?0恒成立,转化为
x2?x11m(x)?lnx?x2?ax在(0,??)上是增函数,再求导后,分离变量变成a?(2x?)min,最后用
x基本不等式求得最小值,代入即得.
- 15 -
【详解】（1）f?(x)?1?a，x?0， x①当a?0时，f?(x)?0，f(x)在(0,??)上是增函数，不可能有两个零点； ②当a?0时，在区间(0,)上，f?(x)?0；在区间(,??)上，f?(x)?0．
1a1a∴f(x)在(0,)1a增函数，在(,??)是减函数，f()?ln1a1a1?0，解得0?a?1，此时a1aa1111e2??2，且f()??1??1???0，∴f(x)在(,)上有1个零点；
eeeeaeaae2e2e2f(2)?2?2lna??1?3?2lna?(0?a?1)， aaae22e2e2?2a令F(a)?3?2lna?，则F?(x)???2? ?0，∴F(a)在(0,1)上单调递增，2aaaa2e21e∴F(a)?F(1)?3?e?0，即f(2)?0，∴f(x)在(,2)上有1个零点．
aaa2∴a的取值范围是(0,1)． （2）由题意得x1?x2?2lnx2?x2?ax2?lnx1?x12?ax1?0， ∴
x2?x12是lnx2?ax2?lnx1?ax1?0，
x2?x1- 16 -
∴m(x)?lnx?x?ax在(0,??)上是增函数， ∴m?(x)?11?2x?a…0在(0,??)上恒成立，∴a?(2x?)min，
xx1112当且仅当2x?时，即x?取等号，∴a?22． …22x??22，xxx2∵x?0，∴2x?∴a的取值范围是(??,22]．
【点睛】本题考查了函数的零点,零点存在性定理,不等式恒成立,以及用基本不等式求最值,属难题.
相关推荐：
loading