21．（12分）
已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x． （1）讨论f(x)的单调性； （2）当a﹤0时，证明f(x)??3?2． 4a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?（t为参数），直线l2的参数方程
y?kt,??x??2?m,?为?.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）my?,?k?（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)?2=0，M为l3与C的交点，求M的极径. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f(x)≥1的解集；
2
（2）若不等式f(x)≥x–x +m的解集非空，求m的取值范围.
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2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题正式答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A 7.D 8.D 9.B 10.C 11.A 12.C 二、填空题
13. 2 14. 5 15. 75° 16. (-错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。 ) 三、解答题 17.解:
（1）因为错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。+…+（2n-1）错误！未找到引用源。 =2n，故当n≥2时，
错误！未找到引用源。+3错误！未找到引用源。+…+（错误！未找到引用源。-3）
错误！未找到引用源。 =2（n-1）
两式相减得（2n-1）错误！未找到引用源。=2
所以错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 (n≥2) 又因题设可得 错误！未找到引用源。=2.
从而{错误！未找到引用源。} 的通项公式为 错误！未找到引用源。 =错误！未找到引用源。.
（2）记 {错误！未找到引用源。}的前n项和为错误！未找到引用源。 ，
由（1）知错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 -错误！未找到引用源。 .
则 错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。- 错误！未找到引用源。 +错误！未找到引用源。 - 错误！未找到引用源。 +…+ 错误！未找到引用源。 - 错误！未找到引用源。 = 错误！未找到引用源。 . 18.解：
（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为错误！未找到引用源。， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率估计值为0.6.
（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y=6错误！未找到引用源。450-4错误！未找到引用源。450=900； 若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6错误！未找到引用源。300+2（450-300）-4错误！未找到引用源。450=300；
若最高气温低于20，则Y=6错误！未找到引用源。200+2（450-200）-4错误！未找到引用源。450= -100.
所以，Y的所有可能值为900,300，-100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为错误！未找到引用源。 ，因此Y大于零的概率的估计值为0.8. 19.解：
（1）取AC的中点O连结DO，BO. 因为AD=CD，所以AC⊥DO.
又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO. 从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD. （2）连结EO.
由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO. 在Rt△AOB中，错误！未找到引用源。. 又AB=BD，所以
错误！未找到引用源。，故∠DOB=90°.
由题设知△AEC为直角三角形，所以错误！未找到引用源。. 又△ABC是正三角形，且AB=BD，所以错误！未找到引用源。.
故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的错误！未找到引用源。，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的错误！未找到引用源。，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.
20.解：
（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,则错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。.
又C的坐标为（0，1），故AC的斜率与BC的斜率之积为错误！未找到引用源。，所以不能出现AC⊥BC的情况.
（2）BC的中点坐标为（错误！未找到引用源。），可得BC的中垂线方程为错误！未找到引用源。.
由（1）可得错误！未找到引用源。，所以AB的中垂线方程为错误！未找到引用源。. 联立错误！未找到引用源。又错误！未找到引用源。，可得错误！未找到引用源。 所以过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（错误！未找到引用源。），半径错误！未找到引用源。
故圆在y轴上截得的弦长为错误！未找到引用源。，即过A、B、C三点的圆在y轴上的截得的弦长为定值. 21.解：
（1）f（x）的定义域为（0，+错误！未找到引用源。），错误！未找到引用源。.
若a≥0，则当x∈（0，+错误！未找到引用源。）时，错误！未找到引用源。，故f（x）在（0，+错误！未找到引用源。）单调递增.
若a＜0，则当x∈错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。；当x∈错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。.故f（x）在错误！未找到引用源。单调递增，在错误！未找到引用源。单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在错误！未找到引用源。取得最大值，最大值为 错误！未找到引用源。.
所以错误！未找到引用源。等价于错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。 设g（x）=lnx-x+1，则错误！未找到引用源。
当x∈（0,1）时，错误！未找到引用源。；当x∈（1，+错误！未找到引用源。）时，错误！未找到引用源。.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+错误！未找到引用源。）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0,.从而当a＜0时，错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。. 22.解：
（1）消去参数t得错误！未找到引用源。的普通方程错误！未找到引用源。：错误！未找到引用源。; 消去参数m得错误！未找到引用源。的普通方程 错误！未找到引用源。：错误！未找到引用源。+2).
设P（x,y），由题设得错误！未找到引用源。 消去k得 错误！未找到引用源。. 所以C的普通方程为错误！未找到引用源。. （2）C的极坐标方程为 错误！未找到引用源。 联立错误！未找到引用源。 得 错误！未找到引用源。
故错误！未找到引用源。 ，从而错误！未找到引用源。， 错误！未找到引用源。 . 代入错误！未找到引用源。 得错误！未找到引用源。=5，所以交点M的极径为错误！未找到引用源。 . 23.解：
（1）错误！未找到引用源。 当x＜-1时，f（x）≥1无解；
当错误！未找到引用源。时，由f（x）≥1得，2x-1≥1，解得1≤x≤2； 当错误！未找到引用源。时，由f（x）≥1解得x＞2. 所以f（x）≥1的解集为{x|x≥1}.
（2）由错误！未找到引用源。得m≤|x+1|-|x-2|-错误！未找到引用源。.而 |x+1|-|x-2|-错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。≤错误！未找到引用源。，
且当x=错误！未找到引用源。时，|x+1|-|x-2|-错误！未找到引用源。. 故m的取值范围为(-错误！未找到引用源。].
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