2019届高考数学一轮复习 第九章 解析几何层级快练62 文

(1)若AB∥l，且△ABD的面积为1，求抛物线C的方程；

(2)设M为AB的中点，过M作l的垂线，垂足为N，证明：直线AN与抛物线相切． 答案 (1)x＝2y (2)略

解析 (1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S△ABD＝p＝1.∴p＝1. ∴抛物线C的方程为x＝2y.

p

(2)证明：设直线AB的方程为y＝kx＋，

2p??y＝kx＋，

2得x2－2kpx－p2＝0.① 联立?

??x2＝2py，

设方程①的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p. x1x2

设A(x1，)，B(x2，)．

2p2ppp2

设M(kp，kp＋)，N(kp，－)．

22

x1px1px1＋px1－x1x2

＋＋2p22p22p2px1

∴kAN＝＝＝＝＝.

x1－kpx1＋x2x1－x2x1－x2p

x1－

222x2

又∵x＝2py，∴y′＝. p

x12

∴抛物线x＝2py在点A处的切线斜率k＝. p∴直线AN与抛物线相切．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22