相交线与平行线
中考要求
内容 基本要求 了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段相交线 平行线 垂直平分线及其性质；知道过直线外一点有且只有一条直线平行与已知直线；知道过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解两平行线之间距离的意义，会度量两平行线间的距离 会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；掌握平行线的性质，会判断两条直线是否平行 略高要求 较高要求 例题精讲
相交直线的概念及性质
如果直线a与直线b只有一个公共点，则称直线a与直线b相交，O为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．
A14C32BD邻补角的概念：
两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，?1和?3，?1和?4，?2和?3，?2和?4互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。
对顶角的概念及性质：
（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可
以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，?1和?2，?3和?4是对顶角.
（2）对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的概念及性质：
（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它
们的交点叫垂足.
如图所示，可以记作“AB?CD于O”
ACDB（2）垂线的性质：
①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.
5.同位角、内错角、同旁内角的概念：
①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在
第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.
②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直
线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角
③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的
一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.
E2AC1346578FDB
看图识角：
（1）“F”型中的同位角.如图.
MAEEMBDNFCMNMBDANCFN（2）“Z”字型中的内错角，如图.
AM
MBNDNC（3）“U”字型中的同旁内角.如图.
AMCN
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。
平行线的性质：平行线之间的距离处处相等. 两条直线的位置关系
在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）
注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行；
③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）
平行线的画法：
平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为： 一“落”（三角板的一边落在已知直线上）， 二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），
三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点）， 四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．
平行公理――平行线的存在性与惟一性
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
平行线的判定
两直线平行的判定方法
方法一 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行
方法二 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行
方法三 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 方法四 垂直于同一条直线的两条直线互相平行
方法五 （平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 方法六 （平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行
平行线的性质：
性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等
简称：两条直线平行，同位角相等
性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
简称：两条直线平行，内错角相等
性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补
简称：两条直线平行，同旁内角互补
两条平行线间的距离：
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等
【例1】 如图，直线AB、CD交于O，OE平分?AOD，?BOC??BOD?30°，求?COE的度数．
CAEOD图3B【解析】由?BOC、?BOD互为邻补角可知，?BOC??BOD?180?．
又?BOC??BOD?30?，故?BOD?105?，?BOC?75?． 由对顶角相等可知，?AOD??BOC?75°．
又OE平分?AOD，故?AOE?37.5?，从而可知，?COE?37.5??105??142.5?．
【答案】142.5?
【例2】 过点O任意作7条直线，求证：以O为顶点的角中，必有一个小于26?. 【解析】略
【答案】如图，点O把7条直线分成14条射线，记为OA1，OA2，…，OA14.
相邻两射线组成14个角，记为?1，?2，…，?14. 其和为一个周角：?1??2?L??14?360?.
若结论不成立，则?i≥26?，(i?1,2,L,14). 相加，得360???1??2?L??14≥26??14?364?.
这一矛盾说明，在?1，?2，…，?14中，必有一个角小于26?.
A1A2A3A4A5OA6A7
180?. n【解析】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点O，将以O为【例3】 平面上有n?n≥2?条直线两两相交，试证明：所得的角中至少有一个角不大于
顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角），设为 ?1，?2，...，?2n.由平行线性质可知，这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条
180?180?直线两两相交所成的角.假设这些角都大于，于是有 ?1??2?...??2n?2n??360?，这
nn与?1??2?...??2n?360?相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.
【答案】在平面上任取一点O，将这n条直线均平行移动通过O点，即n条直线交于同一点O，将以O为
顶点的周角分成了n对互不重叠的角度（共2n个角），设为 ?1，?2，...，?2n.由平行线性质可知，这2n个角的每一个都与原来n条直线中某两条直线的一个交角相等，即这2n个角都是原来n条
180?180?直线两两相交所成的角.假设这些角都大于，于是有 ?1??2?...??2n?2n??360?，这
nn与?1??2?...??2n?360?相矛盾，故假设不成立，即原命题成立.
【例4】 三条不同的直线相交于同一点O，其中某两条直线相交得到的一对对顶角是60?．在以O为顶点
的六条射线上各取一不同于O的点，按顺时针方向依次记为A，B，C，D，E，F．则?AOB，?BOC，?COD，?DOE，?EOF和?FOA中至少有两个角是( )． A．60? B．120? C．锐角 D．钝角 【解析】如下图所示，画出两条直线在点O处交成60?对顶角后，第三条过点0的直线要么过60?角内部，
要么过120?的内部(即60?角的外部)．无论下图中(a)，(b)哪种情况，都至少有两个角是锐角．故选C．
【答案】C
FED（a）AO60°CFEBA60°BDC（b）
【例5】 求证：成对顶角的两个角的平分线，在同一直线上． 【解析】略
相关推荐：
loading