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《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令?(s)?y，则y?x1
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令i1?x1,i2?x2,uc?x3，输出量y?R2x2
R1x1?L1x1?x3?u有电路原理可知：L2x2?R2x2?x3??x1?? 既得
?R111x1?x3?uL1L1L1R21x2?x3L2L2
x2??x3????x1?x2?Cx3?11x1?x2CCy?R2x2写成矢量矩阵形式为：
1-4 两输入u1，u2，两输出y1，y2的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令x1?y，x2?y，x3?y，则有 相应的模拟结构图如下：
1-6 （2）已知系统传递函数W(s)?...6(s?1),试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
s(s?2)(s?3)21016(s?1)?43?3?3 ??解：W(s)?s(s?2)(s?3)2(s?3)2s?3s?2s?1-7 给定下列状态空间表达式
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?1??010??x1??0??x?x?2????2?30??x2???1?u?????????3???x????11?3????x3????2??‘
?x1?y??001??x2?????x3??（1） 画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数 解：
0??s?1?0? （2）W(s)?(sI?A)?2s?3????1?1s?3??1-8 求下列矩阵的特征矢量
10??0?02? （3）A?3?????12?7?6??0????1??2???3?6?2?11??6?0 解：A的特征方程 ?I?A??3?????127??6??解之得：?1??1,?2??2,?3??3
10??p11??0?p11??02??p21????p21? 当?1??1时，3??????????12?7?6????p31???p31???p11??1?????解得： p21?p31??p11 令p11?1 得 P1??p21????1? ??p31?????1???p11???1?????（或令p11??1，得P1??p21???1?） ??p31????1??10??p12??0?p12??02??p22???2?p22? 当?1??2时，3??????????12?7?6????p32???p32???p12??2?1????解得： p22??2p12,p32?p12 令p12?2 得 P2?p22??4
????2??p32????1??欢迎下载
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???p12??1???（或令p12?1，得P2?p22???2?） ???1???p32?????2?10??p13??0?p13??02??p23???3?p23? 当?1??3时，3??????????12?7?6????p33???p33???p13??1?????解得： p23??3p13,p33?3p13 令p13?1 得 P3?p23??3 ??????p33????3??1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
?1??41?2??x1??31??x?x?2???102??x2???27?u?????????3???x???1?13????x3????53??（2）
?x1?y120?1???????y??011??x2?????2???x3?2????4?1???2??(??1)(??3)2?0 解：A的特征方程 ?I?A??1???1??3???1??41?2??p11??p11??2??p21??3?p21? 当?1?3时，10?????????1?13????p31???p31???p11??1?????解之得 p21?p31?p11 令p11?1 得 P1??p21???1? ??p31????1???41?2??p11??p11??1??2??p21??3?p21???1? 当?2?3时，10???????????1?13????p31???p31????1???p12??1?????解之得 p12?p22?1,p22?p32 令p12?1 得 P2?p22?0 ??????p32????0???41?2??p13??p13??2??p23???p23? 当?3?1时，10????????1?13????p33????p33??欢迎下载
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解之得
p13?0,p23?p13??0??2p33 令p33?1 得 P3??p23???2?
??????p33????1??约旦标准型
1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结
1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：
1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：
1-12 已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为 （1）b??? 解法1： 解法2：
求T,使得T?1B??? 得T?1??所以，状态空间表达式为
?1??1?
?1??1??11??1?1? 所以 T?????01??01?第二章习题答案
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt。
?11?
（2） A=??
41??
解：第一种方法： 令
?I?A?0
2则
??1?4?1??1?0 ，即???1??4?0。
求解得到?1?3，?2??1 当?1?3时，特征矢量p1???p11? ??p21?由 Ap1??1p1，得?欢迎下载
?11??p11??3p11???p???3p? 41???21??21?——
即??p11?p21?3p11?1?，可令p1???
?2??4p11?p21?3p21?p12?? p?22?当?2??1时，特征矢量p2??由Ap2??2p2，得??11??p12???p12? ???????41??p22???p22?即??p12?p22??p12?1? ，可令p2???
??2??4p12?p22??p221?4?? 1??4???1?2?11??1则T??，T????1?2?2???2第二种方法，即拉氏反变换法：
第三种方法，即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知?1?3，?2??1
2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
?2e?t?e?2t（3）??t????t?2t?e?e1?1?t3t?t3t?e?e?e?e??????2t?t?22e?2e?4 （4）??t???? ?2t?t?12e?e???e?t?e3te?t?e3t??????2?解：（3）因为 ??0????10??I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 ??01?（4）因为??0????10???I，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 01??2-6 求下列状态空间表达式的解：
初始状态x?0????，输入u?t?时单位阶跃函数。
?1??1?解： A???01?? 00???0??1?因为 B??? ，u?t??I?t?
2-9 有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，而u1和u2为分段常数。 图2.2 系统结构图
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