面积的计算
考点图解
技法透析
面积法是一种重要方法，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：
(1)常见图形的面积计算公式：正方形面积＝边长×边长；矩形的面积＝长×宽；平行四边形面积＝底×高；三角形面积＝底×高÷2；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；圆
n?r2的面积＝×半径的平方；扇形面积＝（n为圆心角，r为半径）
360 (2)计算面积常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形的面积相等；②等底的两个三角形的面积比等于对应高的比；③等高的两个三角形的面积比等于对应底的比；④三角形一边上的中线平分这个三角形的面积． (3)面积计算常用到以下方法：
①和差法：把所求图形的面积转化为常见图形面积的和、差表示，运用常见图形的面积公式；
②等积法：找出与所求图形面积相等的或者关联的特殊图形，通过代换转化来求出图形的面积；
③运动法：通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状；
④代数法：通过寻求图形面积之间的关系列方程（组）；把几何问题转化为代数问题． (4)非常规图形的面积计算 往往采用“等积变换”，所谓“等积变换”就是不改变几何图形的面积，而是把它的形状改变成能够直接求出面积的图形，等积变换的主要目的，是把复杂的图形变成简单的图形，把不规则的图形变成规则的图形．
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(5)“等积变换”的方法
①公式法，即运用某些图形的面积公式及其有关推论． ②分割法，即把一个图形分割成熟知的若干部分图形．
③割补法，即把一个图形的某一部分分割出来，然后用与其等积图形填补到某一位置．
名题精讲
考点1 用面积公式计算常规图形面积
例1 如图，将直角三角形BC沿着斜边AC的方向平移到 △DEF的位置（A、D、C、F四点在同一条直线上）．直角边DE 交BC于点G．如果BG＝4，EF＝12，△BEG的面积等于4，那 么梯形ABGD的面积是 ( )
A．16 B．20 C．24 D．28
【切题技巧】
【规范解答】 B
【借题发挥】 把不能直接求出面积的图形通过转化或找出与它面积相等的特殊图形，从而能够求解．
【同类拓展】 1．如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形，则A，B，C，D的面积的和等于 ( )
A．
92m 4 B．
52m 2 C．
112
m 4
D．3m2
考点2 用面积的和、差计算非常规图形有面积
例2 如图，P是平行四边形ABCD内一点，且S△PAB＝5， S△PAD＝2，请你求出S△PAC（即阴影部分的面积）．
【切题技巧】 △APC的底与高显然无法求，则应用已知三角 形的面积的和或差来计算△APC的面积．
【规范解答】
【借题发挥】 对于不能直接求的图形可以把图形进行分解和组合，通过图形的面积和或差进行计算．
【同类拓展】 2．如图，长方形ABCD中，△ABP的面积为a，
2
△CDG的面积为b，则阴影四边形的面积等于 ( )
A．a＋b B．a－b
C．
a?b D．无法确定 2
考点3 列方程（组）求面积
例3 如图所示，△ABC的面积是1cm2．AD＝DE＝EC， BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面积．
【切题技巧】 条件中有两组等分点，易知△BCE，△ACF的面积为，但仍然不能求阴影部分面积，因此，只要求出△BCE中另两块面积即可，
【规范解答】 如图，设AG与BE交于N，AF与BE交于P，连接NC，ND，PC，PD．
设△NGB的面积为x，△NDE的面积为y，则有△NCG的面积为2x，△NEA的面积为2y．
因为△ABC的面积是1cm2，且AD＝AE＝EC，BG＝GF＝FC．
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【借题发挥】 求一些关系复杂的图形面积，列方程是一个重要方法，它不但可以使我们熟悉列方程和了解方程在几何中的应用，而且能清晰地表明图形面积之间的关系，从而可以化解或降低解题的难度．
【同类拓展】 3．如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、 CD边上的点，AE、DE、BF、AF把正方形分成8小块，各小块的面 积分别为S1、S2、?、S8，试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明
3
理由．
考点4 面积比与线段比的转化
例4 如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O 点，若△AOD的面积是2，△COD的面积是1，△COB的面积是4， 则四边形ABCD的面积是 ( ) A．16 B．15 C．14 D．13
【切题技巧】 分析△AOD，△DOC，△AOB，△COB四个三角形的面积，只有通过线段比联系起来，相邻两个三角形的面积都存在着一种比例关系．
【规范解答】
【借题发挥】 两三角形的高相等时，面积比等于对应底之比，则可以将面积比与对应线段比相互转化，这是．解答面积问题、线段比等问题的常用技巧．
【同类拓展】 4．如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则
S四边形AGCDS矩形ABCDB．
等于 ( )
A．
5 64 5C．
3 4D．
2 3 考点5
例5 如图所示，在四边形ABCD中，AM＝MN＝ND， BE＝EF＝FC，四边形ABEM、MEFN、NFCD的面积分别记为 S1，S2和S3．求
S2??
S1?S3 【切题技巧】 把四边形分割成多个三角形，运用三角形等积变换定理即可求出，
【规范解答】 连接A．E、EN、PC和AC．
4
【借题发挥】 等积变形的题目中，常将多边形面积转化为三角形面积，再运用等底同高来进行等积代换，因此，在转化时只要抓住题设中的等分点，就可以将多边形面积进行等积变换了．
【同类拓展】 5．如图，张大爷家有一块四边形的菜地，在A 处有一口井，张大爷欲想从A处引一条笔直的水渠，且这条笔直的水 渠将四边形菜地分成面积相等的两部分，请你为张大爷设计一种引水 渠的方案，画出图形并说明理由． 考点6 格点多边形的面积
例6 如图，五边形ABCDE的面积为多少？
我们把方格纸上两组互相平行且垂直的直线的交点叫格点． 顶点在格点上的多边形叫格点多边形．可以通过图形的分割，转 化为规则图形，再求面积． 【规范解答】如图，标上字母F、G、H、I、J点，使得△ABF， △BCG，△CDH，△DEI，△EAJ为直角三角形，
【借题发挥】 格点多边形面积有如下计算规律：
格点多边形的面积等于其所包含有格点个数，加上由其边界上的格点的个数之半，再减去1．此规律对凹多边形也适用．
即：若格点多边形的面积为S，格点多边形内部有且只有n个格点，它各边上格点的个数和为x．则S＝
1x＋n－1． 2【同类拓展】 6．如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形 网格中，阴影部分面积与正方形ABCD面积的比是 ( ) A． 3：4 B．5：8 C．9：16 D．1：2
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