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第五节 综合法与分析法、反证法
[考纲传真] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
1．综合法
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．
2．分析法
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．
3．反证法
(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．
(2)反证法的证明步骤是： ①作出否定结论的假设； ②进行推理，导出矛盾； ③否定假设，肯定结论．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( ) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( )
(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A．综合法 C．反证法
B．分析法 D．归纳法
B [要证明3＋7<25成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．] 3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根
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C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根
A [“方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.]
4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与
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bb＋x的大小关系是__________.
aa＋x【导学号：】
b＋xbb＋xbxa－b> [∵－＝>0， a＋xaa＋xaa＋xa∴
b＋xb>.] a＋xa5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．
等边 [由题意2B＝A＋C，
π2
又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b＝ac，
3
由余弦定理得b＝a＋c－2accosB＝a＋c－ac， ∴a＋c－2ac＝0，即(a－c)＝0，∴a＝c， π
∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．]
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综合法 2
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2
2
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分
别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
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