π122
解：(1)令y＝0，则2tsin －gt＝0，解之得t＝. g622
所以炮弹从发射到落地所需要的时间为.
gπ1212
(2)y＝2tsin －gt＝－gt＋t
6221?22?
＝－g?t－gt?
2??1??1?21?＝－g??t－?－2?
2??g?g?1?1?21＝－g?t－g?＋，
2?2g?
11所以当t＝时，y取最大值.
g2g即炮弹在运动中达到的最大高度为
2
1
. 2g
y2
10．过M(0，1)作椭圆x＋＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参
4数方程．
解：设过M(0，1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)，设中点P(x，y)则有：
x1＋x2y1＋y2x＝，y＝.
22
?y＝kx＋1，由?2y2得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0， ?x＋4＝1
－2k8
所以y1＋y2＝2，x1＋x2＝2.
k＋4k＋4
5
?所以?4
?y＝k＋4
2
k
x＝－2，k＋4
(k为参数)，
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．
B级 能力提升
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )
A．(2，3)
?π?C.?0，2? ?
?
B．(1，5) D．(2，0)
x2y2
解析：先将P(2cos θ，3sin θ)化为方程为＋＝1，再将选项代
49进去，可得到的是(2，0)．
答案：D
2．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1，1)，则点M的参数方程为________．
解析：设M(x，y)，则在x轴上的位移为x＝1＋9t，在y轴上的位移为y＝1＋12t.
??x＝1＋9t，
所以参数方程为：?
?y＝1＋12t.???x＝1＋9t，
答案：?(t为参数)
?y＝1＋12t?
3?x＝?5t，
3．在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?(t
4
??y＝1＋5t为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极
6
坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)在直线l上，且在曲线C内，求x－y的取值范围； (3)若Q(x，y)在曲线C上，求Q到直线l的最大距离dmax. 解：(1)因为ρ＝2sin θ， 所以ρ2＝2ρsin θ， 所以x2＋y2＝2y， 即x2＋(y－1)2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1. 3?4?1
(2)因为x－y＝t－?1＋5t?＝－t－1，
5?5?又－1＜t＜1. 111
所以－＜－t＜，
555614
所以－＜－t－1＜－，
555
?64?
?即x－y的取值范围是－5，－5?. ??
??x＝cos θ，
(3)曲线C的参数方程为?(θ为参数)，
?y＝1＋sin θ?
直线l的普通方程为4x－3y＋3＝0，
|4cos θ－3sin θ|4
d＝＝|sin(θ－φ)|，tan φ＝，
53所以dmax＝1.
7
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